Scheda di revisione: Cours sur les suites numériques

📋 Plan du Cours

1. Définition et exemples de suites numériques
2. Modes de définition des suites : formules explicite, récurrente, algorithme et motif géométrique
3. Calcul et interprétation des termes consécutifs dans une suite
4. Représentation graphique des suites numériques
5. Sens de variation des suites : croissante, décroissante, constante et monotone
6. Critères de monotonicité par comparaison des termes consécutifs
7. Lien entre monotonicité d’une fonction définissant une suite explicite et sens de variation de la suite
8. Exemples concrets d’étude du sens de variation de suites définies par une fonction explicite
9. Notion de convergence d’une suite numérique et illustration par un exemple
10. Notion de divergence d’une suite numérique : divergence vers l’infini et divergence oscillante

📖 1. Définition et exemples de suites numériques

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite numérique : Une fonction définie à partir d'un entier p qui associe à chaque entier n supérieur ou égal à p un nombre réel, appelé terme de la suite, noté u(n) ou u_n.
• SUITES NUMERIQUES : L'ensemble des fonctions discrètes indexées par des entiers, associant à chaque rang un nombre réel, formant ainsi des suites de nombres.

📝 Points essentiels

• Le terme général u_n est le terme de rang n de la suite, et u_p est le premier terme ou terme initial.
• Exemples classiques de suites numériques incluent la suite des nombres pairs définie par u_n = 2n, la suite des nombres impairs définie par v_n = 2n + 1, et la suite définie par w_n = 1/n pour n ≥ 1.
• On dit que la suite est définie par une relation explicite (le terme général est en fonction de l’indice n).
• C’est la suite des nombres pairs.

💡 À retenir

Le terme général u_n est le terme de rang n de la suite, et u_p est le premier terme ou terme initial.

📖 2. Modes de définition des suites : formules explicite, récurrente, algorithme et motif géométrique

🔑 Notions clés & Définitions

• Exemple : Une illustration concrète permettant de montrer comment une suite est définie ou calculée.
• Exercice : Une activité visant à appliquer ou vérifier la compréhension d'une notion mathématique, souvent par la résolution de problèmes.
• Formule explicite : Une expression qui permet de calculer directement le terme général d'une suite en fonction de son indice n, sans référence aux termes précédents.
• Formule de récurrence : Un+1 = f(un) On peut définir une suite par les deux données suivantes : * Le terme initial (le premier terme).

📝 Points essentiels

• Une suite peut être définie par un algorithme, utilisant une boucle pour calculer les termes successifs à partir du terme initial.
• Une suite peut être définie par un motif géométrique, c'est-à-dire par une quantité géométrique répétée dans une figure (exemple : nombre de points dans des triangles successifs).

💡 À retenir

Les suites numériques peuvent être définies selon quatre modes fondamentaux : par formule explicite, formule de récurrence, algorithme ou motif géométrique, chacun possédant des caractéristiques distinctes.

📖 3. Calcul et interprétation des termes consécutifs dans une suite

🔑 Notions clés & Définitions

• Termes de cette suite : U0 = 02 + 1 = 1, u1 = 12 + 1 = 2, u2 = 22 + 1 = 5, u10 = 102 + 1 = 101, u100 = 1002 + 1 = 10001.

📝 Points essentiels

• Le calcul des termes consécutifs est essentiel pour étudier la variation et le comportement d'une suite.
• En effet chaque terme d’indice pair, qui est positif, est supérieur au terme précédent d’indice impair, qui est négatif, ainsi de suite.

💡 À retenir

Maîtriser la notion et la notation des termes consécutifs permet d'analyser précisément la progression d'une suite.

📖 4. Représentation graphique des suites numériques

🔑 Notions clés & Définitions

• Représentation graphique d'une suite : Un nuage de points dans un repère orthonormé où chaque point a pour coordonnées (n ; u_n), avec n un entier naturel, représentant les termes de la suite en fonction de leur rang.

📝 Points essentiels

• La représentation graphique d'une suite (u_n) dans un repère est le nuage de points de coordonnées (n ; u_n) où n est un entier naturel.
• Les points ont pour abscisses les entiers n et pour ordonnées les termes u_n de la suite.
• La représentation graphique permet de visualiser la tendance et le comportement de la suite.
• Une suite définie par récurrence peut être représentée graphiquement par une méthode géométrique particulière.
• On dit que la suite est définie par une relation de récurrence un+1 = f(un) .

💡 À retenir

La représentation graphique d'une suite (u_n) dans un repère est le nuage de points de coordonnées (n ; u_n) où n est un entier naturel.

📖 5. Sens de variation des suites : croissante, décroissante, constante et monotone

🔑 Notions clés & Définitions

Une suite (u_n) est dite croissante si, pour tout n, u_{n+1} ≥ u_n, c’est-à-dire que chaque terme est supérieur ou égal au terme précédent.
Une suite (u_n) est décroissante si, pour tout n, u_{n+1} ≤ u_n, c’est-à-dire que chaque terme est inférieur ou égal au terme précédent.
Une suite (u_n) est constante si, pour tout n, u_{n+1} = u_n, c’est-à-dire que tous les termes sont identiques.
Une suite est monotone si elle est soit croissante, soit décroissante, ce qui signifie qu’elle ne change pas de sens de variation.

📝 Points essentiels

• Une suite (u_n) est croissante lorsque, pour chaque n, la différence u_{n+1} - u_n est positive ou nulle. Par exemple, si u_{n+1} ≥ u_n, alors la suite ne diminue pas.
• Inversement, une suite (u_n) est décroissante lorsque, pour chaque n, la différence u_{n+1} - u_n est négative ou nulle, c’est-à-dire que u_{n+1} ≤ u_n, ce qui indique une tendance à diminuer ou à rester constante.
• Une suite (u_n) est constante lorsque la différence u_{n+1} - u_n est nulle pour tout n, ce qui implique que tous les termes sont égaux.
• Pour illustrer chaque type de variation, on peut calculer explicitement la différence u_{n+1} - u_n :
• Si cette différence est toujours positive ou nulle, la suite est croissante.
• Si elle est toujours négative ou nulle, la suite est décroissante.
• Si elle est toujours nulle, la suite est constante.
• Exemples :
• Si u_{n+1} - u_n = 1, la suite est croissante.
• Si u_{n+1} - u_n = -1, la suite est décroissante.
• Si u_{n+1} - u_n = 0, la suite est constante.

💡 À retenir

La compréhension du sens de variation d’une suite repose sur l’analyse de la différence entre deux termes consécutifs. Une suite monotone est soit toujours croissante, soit toujours décroissante, ce qui facilite son étude et sa représentation graphique.

📖 6. Critères de monotonicité par comparaison des termes consécutifs

🔑 Notions clés & Définitions

• Définition : Propriété mathématique qui caractérise une suite selon la relation entre ses termes consécutifs, permettant de déterminer si elle est croissante, décroissante ou constante.
• Remarque : Une suite est dite monotone si elle est soit croissante, soit décroissante, ce qui se traduit par des inégalités sur les différences entre termes consécutifs.

📝 Points essentiels

• Dire qu’une suite est monotone signifie que (un) est croissante ou (un) est décroissante.
• Si pour tout n, u_{n+1} - u_n ≥ 0 alors la suite est croissante.

💡 À retenir

Comparer les termes consécutifs d'une suite permet d'établir rigoureusement sa monotonicité sans recourir à sa forme explicite.

📖 7. Lien entre monotonicité d’une fonction définissant une suite explicite et sens de variation de la suite

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite (un) définie pour tout : Une suite est une fonction définie sur l'ensemble des entiers naturels, associant à chaque n un terme u_n.

📝 Points essentiels

• La réciproque n'est pas vraie : une suite peut être monotone alors que la fonction f ne l'est pas.
• Cette propriété ne s'applique pas aux suites définies par récurrence.

💡 À retenir

La variation d'une fonction continue sur un intervalle permet de déduire la tendance de la suite définie explicitement par cette fonction, sous réserve de la monotonie de f sur l'intervalle.

📖 8. Exemples concrets d’étude du sens de variation de suites définies par une fonction explicite

🔑 Notions clés & Définitions

• Par f(x) : Une suite définie par un = f(n) est associée à une fonction f définie sur un intervalle [p ; +∞[. L'étude de la croissance ou décroissance de f sur cet intervalle permet de déterminer le sens de variation de la suite à partir du rang p.
• Exemples : ➢ La suite (un) définie par : un = 5n, la suite (vn) définie par : vn = 3n2 + 5.

📝 Points essentiels

• Page 2 sur 6 Exemples : ➢ La suite (un) définie par : un = 5n, la suite (vn) définie par : vn = 3n2 + 5.
• (n+1)(n+2) > 0 pour tout entier naturel n et -5 < 0 Donc pour tout entier n, un+1 – un < 0, c'est-à-dire un+1 < un La suite (un) est strictement décroissante.
• La suite est croissante à partir du rang p.

💡 À retenir

L'application concrète des critères de variation, par le calcul de différences et l'étude de la fonction associée, permet de maîtriser le comportement des suites définies explicitement.

📖 9. Notion de convergence d’une suite numérique et illustration par un exemple

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite convergente : Une suite numérique dont les termes approchent de plus en plus une valeur fixe appelée limite lorsque l'indice tend vers l'infini.
• Termes de la suite : Les éléments successifs u_n qui composent la suite, indexés par des entiers naturels n.
• Considère la suite (un) définie : L'action d'étudier une suite particulière (u_n) donnée par une formule ou une règle explicite pour analyser son comportement.

📝 Points essentiels

• Une suite (u_n) converge vers une limite L si ses termes deviennent arbitrairement proches de L lorsque n tend vers l'infini.
• L'exemple de la suite u_n = (n+2)/(n+1) montre une convergence vers 1, illustrée par le tableau de valeurs où les termes se rapprochent de 1 à mesure que n augmente.
• Le tableau de valeurs montre que plus n devient grand, plus u_n se rapproche de la limite, ici 1.
• La notation de convergence est : u_n → L quand n → +∞.
• Remarque :
  • Les réciproques de ces propriétés sont fausses Exemple : La représentation suivante montre une suite décroissante alors que la fonction f correspondante n'est pas monotone.

💡 À retenir

Comprendre la convergence comme le rapprochement progressif des termes d'une suite vers une valeur fixe.

📖 10. Notion de divergence d’une suite numérique : divergence vers l’infini et divergence oscillante

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite divergente Exemples : Catégorie de suites dont les termes ne se rapprochent pas d'une limite finie, incluant celles qui divergent vers +∞ ou par oscillation.
• Suite (un) diverge vers : Situation où les termes d'une suite deviennent arbitrairement grands, ce qui correspond à une divergence vers +∞.
• Suite (un) converge vers : Propriété d'une suite dont les termes se rapprochent d'une valeur unique finie lorsque l'indice tend vers l'infini.
• Considère la suite : Action d'étudier le comportement des termes d'une suite lorsque l'indice n tend vers l'infini, notamment pour déterminer convergence ou divergence.

📝 Points essentiels

• Une suite diverge si elle ne converge pas vers une limite finie, pouvant diverger vers +∞ si ses termes deviennent arbitrairement grands.
• Une suite diverge par oscillation si ses termes ne se rapprochent pas d'une valeur unique, comme dans le cas où ils alternent entre 2 et -2.
• La notation pour divergence vers +∞ est u_n → +∞ quand n → +∞.
• La divergence oscillante signifie absence de limite, avec des termes qui oscillent sans se fixer.
• Calculons les premiers termes de cette suite : = 2 = –2 = –2 = 2 = 2 Lorsque n devient grand, les termes de la suite ne semblent pas se rapprocher vers une valeur unique.
• Remarque : La suite (un) définie par un = 5x(-0,8)n n’est pas monotone.

💡 À retenir

Différencier les types de divergence pour comprendre les comportements non convergents des suites.

🧩 Compléments de couverture

1. Détail source à réviser : 1 sur 6 CHAP. 2 SUITES NUMERIQUES Généralités Dès l'Antiquité, Archimède de Syracuse (-287 ; -212), met en œuvre une procédure itérative pour trouver une approximation du nombre . Il encadre le cercle par des polygones i (Source: "1 sur 6 CHAP. 2 SUITES NUMERIQUES Généralités Dès l'Antiquité, Archimède de Syracuse (-287 ; -212), met en œuvre une procédure itérative pour trouver une approximation du nombre . Il encadre le cercle par des polygones inscrits et circonscrits possédant un nombre de côtés de plus en plus grand. Par ce procéde, Archimède donne naissance, sans le savoir,")
2. Détail source à réviser : met en œuvre une procédure itérative pour trouver une approximation du nombre . Il encadre le cercle par des polygones inscrits et circonscrits possédant un nombre de côtés de plus en plus grand. Par ce procéde, Archimèd (Source: "met en œuvre une procédure itérative pour trouver une approximation du nombre . Il encadre le cercle par des polygones inscrits et circonscrits possédant un nombre de côtés de plus en plus grand. Par ce procéde, Archimède donne naissance, sans le savoir, à la notion de suite numérique. Vers la fin du XVIIe siècle, des méthodes semblables sont utilisées")
3. Détail source à réviser : Par ce procéde, Archimède donne naissance, sans le savoir, à la notion de suite numérique. Vers la fin du XVIIe siècle, des méthodes semblables sont utilisées pour résoudre des équations de façon approchée pour des probl (Source: "Par ce procéde, Archimède donne naissance, sans le savoir, à la notion de suite numérique. Vers la fin du XVIIe siècle, des méthodes semblables sont utilisées pour résoudre des équations de façon approchée pour des problèmes de longueurs, d'aires, … Un formalisme plus rigoureux de la notion de suite n'apparaitra qu'au début du XIXe siècle avec le")
4. Détail source à réviser : façon approchée pour des problèmes de longueurs, d'aires, … Un formalisme plus rigoureux de la notion de suite n'apparaitra qu'au début du XIXe siècle avec le mathématicien français Augustin Louis Cauchy (1789 ; 1857) – (Source: "façon approchée pour des problèmes de longueurs, d'aires, … Un formalisme plus rigoureux de la notion de suite n'apparaitra qu'au début du XIXe siècle avec le mathématicien français Augustin Louis Cauchy (1789 ; 1857) – ci-contre. I/ Suites numériques 1) Définition : Une suite numérique u définie à partir du rang p est une fonction qui à chaque entier n ≥")
5. Détail source à réviser : Cauchy (1789 ; 1857) – ci-contre. I/ Suites numériques 1) Définition : Une suite numérique u définie à partir du rang p est une fonction qui à chaque entier n ≥ p associe un nombre réel, noté u(n) ou un . u : n ≥ p ⎯⎯→ u (Source: "Cauchy (1789 ; 1857) – ci-contre. I/ Suites numériques 1) Définition : Une suite numérique u définie à partir du rang p est une fonction qui à chaque entier n ≥ p associe un nombre réel, noté u(n) ou un . u : n ≥ p ⎯⎯→ u( n ) = u n u n s’appelle le terme général de la suite u ou le terme de rang n (d’indice n), up est le premier ou le terme initial de")
6. Détail source à réviser : u(n) ou un . u : n ≥ p ⎯⎯→ u( n ) = u n u n s’appelle le terme général de la suite u ou le terme de rang n (d’indice n), up est le premier ou le terme initial de la suite. On note la suite u ou (un) ou encore ( u n )n≥p (Source: "u(n) ou un . u : n ≥ p ⎯⎯→ u( n ) = u n u n s’appelle le terme général de la suite u ou le terme de rang n (d’indice n), up est le premier ou le terme initial de la suite. On note la suite u ou (un) ou encore ( u n )n≥p Exemples : 1) Les nombres : 0 ; 2 ; 4 ; 6 ; 8 ; 10 ; 12 ………… forment une suite. C’est la suite des nombres pairs. les termes de cette")
7. Détail source à réviser : u ou (un) ou encore ( u n )n≥p Exemples : 1) Les nombres : 0 ; 2 ; 4 ; 6 ; 8 ; 10 ; 12 ………… forment une suite. C’est la suite des nombres pairs. les termes de cette suite ( u n ) sont égaux à un = 2 n , n  IN. 2) Les no (Source: "u ou (un) ou encore ( u n )n≥p Exemples : 1) Les nombres : 0 ; 2 ; 4 ; 6 ; 8 ; 10 ; 12 ………… forment une suite. C’est la suite des nombres pairs. les termes de cette suite ( u n ) sont égaux à un = 2 n , n  IN. 2) Les nombres impairs forment une suite ( v n ) et sont définis par vn = 2n + 1 , n  IN v 0 = 1 est le 1° nombre impair ; v 1 = 3 est le 2° nombre")
8. Détail source à réviser : = 2 n , n  IN. 2) Les nombres impairs forment une suite ( v n ) et sont définis par vn = 2n + 1 , n  IN v 0 = 1 est le 1° nombre impair ; v 1 = 3 est le 2° nombre impair. v n = 2n + 1 est le ……………………. nombre impair. 3) (Source: "= 2 n , n  IN. 2) Les nombres impairs forment une suite ( v n ) et sont définis par vn = 2n + 1 , n  IN v 0 = 1 est le 1° nombre impair ; v 1 = 3 est le 2° nombre impair. v n = 2n + 1 est le ……………………. nombre impair. 3) Soit la suite ( w n ) n  IN* définie par wn = 1 n , n  IN* . Ecrire les 5 premiers termes de la suite et le terme wn+1 Remarques : •")
9. Détail source à réviser : ……………………. nombre impair. 3) Soit la suite ( w n ) n  IN* définie par wn = 1 n , n  IN* . Ecrire les 5 premiers termes de la suite et le terme wn+1 Remarques : • un+1 est le terme d’indice n+1 ; c'est-à-dire le terme qu (Source: "……………………. nombre impair. 3) Soit la suite ( w n ) n  IN* définie par wn = 1 n , n  IN* . Ecrire les 5 premiers termes de la suite et le terme wn+1 Remarques : • un+1 est le terme d’indice n+1 ; c'est-à-dire le terme qui suit le terme un (le terme d’indice n). • un-1 est le terme d’indice n-1 ; c'est-à-dire le terme qui précède le terme un (le terme")
10. Détail source à réviser : ; c'est-à-dire le terme qui suit le terme un (le terme d’indice n). • un-1 est le terme d’indice n-1 ; c'est-à-dire le terme qui précède le terme un (le terme d’indice n). • On ne doit pas confondre un+1(terme d’indice n (Source: "; c'est-à-dire le terme qui suit le terme un (le terme d’indice n). • un-1 est le terme d’indice n-1 ; c'est-à-dire le terme qui précède le terme un (le terme d’indice n). • On ne doit pas confondre un+1(terme d’indice n+1) et un+1(la somme de un ,le terme d’indice n et de 1). indication : u(n+1) ≠ u(n) + 1 2) Mode de génération d’une suite : a) Par une")
11. Détail source à réviser : un+1(terme d’indice n+1) et un+1(la somme de un ,le terme d’indice n et de 1). indication : u(n+1) ≠ u(n) + 1 2) Mode de génération d’une suite : a) Par une formule explicite : un =f(n) Soit p un entier naturel et f une (Source: "un+1(terme d’indice n+1) et un+1(la somme de un ,le terme d’indice n et de 1). indication : u(n+1) ≠ u(n) + 1 2) Mode de génération d’une suite : a) Par une formule explicite : un =f(n) Soit p un entier naturel et f une fonction définie sur [p ; +∞[ .On peut définir une suite (un) en posant, pour tout entier n ≥ p, un =f(n). On dit que la suite est")
12. Détail source à réviser : Soit p un entier naturel et f une fonction définie sur [p ; +∞[ .On peut définir une suite (un) en posant, pour tout entier n ≥ p, un =f(n). On dit que la suite est définie par une relation explicite (le terme général es (Source: "Soit p un entier naturel et f une fonction définie sur [p ; +∞[ .On peut définir une suite (un) en posant, pour tout entier n ≥ p, un =f(n). On dit que la suite est définie par une relation explicite (le terme général est en fonction de l’indice n). Page 2 sur 6 Exemples : ➢ La suite (un) définie par : un = 5n, la suite (vn) définie par : vn = 3n2 + 5. ➢")
13. Détail source à réviser : (le terme général est en fonction de l’indice n). Page 2 sur 6 Exemples : ➢ La suite (un) définie par : un = 5n, la suite (vn) définie par : vn = 3n2 + 5. ➢ Soit f la fonction définie sur [0 ;+∞[ par f(x) = 2+x et (un) l (Source: "(le terme général est en fonction de l’indice n). Page 2 sur 6 Exemples : ➢ La suite (un) définie par : un = 5n, la suite (vn) définie par : vn = 3n2 + 5. ➢ Soit f la fonction définie sur [0 ;+∞[ par f(x) = 2+x et (un) la suite définie par un = f(n) Calculer u0 ; u1 ; u3 ; u4. Solution : 1) u0= f(0) = 2 ; u1= f(1) = 3 ; u2= f(2) =2 ; u3= f(3) = 5")
14. Détail source à réviser : sur [0 ;+∞[ par f(x) = 2+x et (un) la suite définie par un = f(n) Calculer u0 ; u1 ; u3 ; u4. Solution : 1) u0= f(0) = 2 ; u1= f(1) = 3 ; u2= f(2) =2 ; u3= f(3) = 5 et u4= f(4) = 6. b) Par une formule de récurrence : un+ (Source: "sur [0 ;+∞[ par f(x) = 2+x et (un) la suite définie par un = f(n) Calculer u0 ; u1 ; u3 ; u4. Solution : 1) u0= f(0) = 2 ; u1= f(1) = 3 ; u2= f(2) =2 ; u3= f(3) = 5 et u4= f(4) = 6. b) Par une formule de récurrence : un+1 = f(un) On peut définir une suite par les deux données suivantes : * Le terme initial (le premier terme). * L’expression d’un terme de la")
15. Détail source à réviser : formule de récurrence : un+1 = f(un) On peut définir une suite par les deux données suivantes : * Le terme initial (le premier terme). * L’expression d’un terme de la suite en fonction du (des) terme(s) précédent(s) . On (Source: "formule de récurrence : un+1 = f(un) On peut définir une suite par les deux données suivantes : * Le terme initial (le premier terme). * L’expression d’un terme de la suite en fonction du (des) terme(s) précédent(s) . On dit que la suite est définie par une relation de récurrence un+1 = f(un) . Exemple : Pour la suite (vn), déterminer les termes jusqu’au")
16. Détail source à réviser : terme(s) précédent(s) . On dit que la suite est définie par une relation de récurrence un+1 = f(un) . Exemple : Pour la suite (vn), déterminer les termes jusqu’au rang n = 5. (vn) telle que pour tout entier naturel n (vn (Source: "terme(s) précédent(s) . On dit que la suite est définie par une relation de récurrence un+1 = f(un) . Exemple : Pour la suite (vn), déterminer les termes jusqu’au rang n = 5. (vn) telle que pour tout entier naturel n (vn) :    v0 = 1 v n+1 = 2 vn + 1 c) Par un algorithme La suite (un) est alors définie par son premier terme et des instructions d’une")
17. Détail source à réviser : tout entier naturel n (vn) :    v0 = 1 v n+1 = 2 vn + 1 c) Par un algorithme La suite (un) est alors définie par son premier terme et des instructions d’une boucle Pour, qui permettent de calculer les termes suivant (Source: "tout entier naturel n (vn) :    v0 = 1 v n+1 = 2 vn + 1 c) Par un algorithme La suite (un) est alors définie par son premier terme et des instructions d’une boucle Pour, qui permettent de calculer les termes suivants. Exemple : Pseudo-code (1) langage Python (1) Définir suite(n) Pour i allant de 0 jusqu’à n u i + 2 afficher u FinPour Exercice : a)")
18. Détail source à réviser : de calculer les termes suivants. Exemple : Pseudo-code (1) langage Python (1) Définir suite(n) Pour i allant de 0 jusqu’à n u i + 2 afficher u FinPour Exercice : a) Que fait cet algorithme ?. b) Donner la formule de récu (Source: "de calculer les termes suivants. Exemple : Pseudo-code (1) langage Python (1) Définir suite(n) Pour i allant de 0 jusqu’à n u i + 2 afficher u FinPour Exercice : a) Que fait cet algorithme ?. b) Donner la formule de récurrence utilisée dans cet algorithme. c) Sachent que u0 = 5 , calculer les 4 premiers termes. d) Modifier l’algorithme pour trouver le plus")
19. Détail source à réviser : Donner la formule de récurrence utilisée dans cet algorithme. c) Sachent que u0 = 5 , calculer les 4 premiers termes. d) Modifier l’algorithme pour trouver le plus petit entier n pour lequel le terme de rang n dépasse 50 (Source: "Donner la formule de récurrence utilisée dans cet algorithme. c) Sachent que u0 = 5 , calculer les 4 premiers termes. d) Modifier l’algorithme pour trouver le plus petit entier n pour lequel le terme de rang n dépasse 500. Page 3 sur 6 N=6 d) Par un motif géométrique La suite (un) est alors définie comme une quantité géométrique(longueur, angle, etc…)dans")
20. Détail source à réviser : le terme de rang n dépasse 500. Page 3 sur 6 N=6 d) Par un motif géométrique La suite (un) est alors définie comme une quantité géométrique(longueur, angle, etc…)dans une figure où un motif particulier se répète. Exemple (Source: "le terme de rang n dépasse 500. Page 3 sur 6 N=6 d) Par un motif géométrique La suite (un) est alors définie comme une quantité géométrique(longueur, angle, etc…)dans une figure où un motif particulier se répète. Exemple : La (un) définie par le nombre de points de chaque triangle ci-dessous : On a alors : u0 =0(pas de triangle), u1=1, u2 =3, u3=6, u4 =10…")
21. Détail source à réviser : se répète. Exemple : La (un) définie par le nombre de points de chaque triangle ci-dessous : On a alors : u0 =0(pas de triangle), u1=1, u2 =3, u3=6, u4 =10… Exercice : On considère un triangle OA0A1 rectangle en A0 tel q (Source: "se répète. Exemple : La (un) définie par le nombre de points de chaque triangle ci-dessous : On a alors : u0 =0(pas de triangle), u1=1, u2 =3, u3=6, u4 =10… Exercice : On considère un triangle OA0A1 rectangle en A0 tel que A0A1 = 1. On construit le triangle OA1A2 rectangle en A1 tel que A1A2 = 1, puis le triangle OA2A3 rectangle en A2 tel que A2A3=")
22. Détail source à réviser : triangle OA0A1 rectangle en A0 tel que A0A1 = 1. On construit le triangle OA1A2 rectangle en A1 tel que A1A2 = 1, puis le triangle OA2A3 rectangle en A2 tel que A2A3= 1. On poursuit le processus et on note pour tout enti (Source: "triangle OA0A1 rectangle en A0 tel que A0A1 = 1. On construit le triangle OA1A2 rectangle en A1 tel que A1A2 = 1, puis le triangle OA2A3 rectangle en A2 tel que A2A3= 1. On poursuit le processus et on note pour tout entier naturel n, dn = OAn. On a donc d0 = 1. 1) Calculer d1 et d2. 2) Montrer que pour tout entier naturel n, dn+1 = 1 + dn2. Solution 1. En")
23. Détail source à réviser : et on note pour tout entier naturel n, dn = OAn. On a donc d0 = 1. 1) Calculer d1 et d2. 2) Montrer que pour tout entier naturel n, dn+1 = 1 + dn2. Solution 1. En utilisant le théorème de Pythagore dans le triangle OA0A1 (Source: "et on note pour tout entier naturel n, dn = OAn. On a donc d0 = 1. 1) Calculer d1 et d2. 2) Montrer que pour tout entier naturel n, dn+1 = 1 + dn2. Solution 1. En utilisant le théorème de Pythagore dans le triangle OA0A1 rectangle en A0, on obtient : OA12 = OA02 + A0A12, soit d12 = 1²+1² donc d1 = 2. le triangle OA1A2 rectangle en A1, donc OA22 = OA12 +")
24. Détail source à réviser : dans le triangle OA0A1 rectangle en A0, on obtient : OA12 = OA02 + A0A12, soit d12 = 1²+1² donc d1 = 2. le triangle OA1A2 rectangle en A1, donc OA22 = OA12 + A1A22, soit d22 = d1² +1² donc d22 = 2 + 1 = 3 et d2 = 3. 2. L (Source: "dans le triangle OA0A1 rectangle en A0, on obtient : OA12 = OA02 + A0A12, soit d12 = 1²+1² donc d1 = 2. le triangle OA1A2 rectangle en A1, donc OA22 = OA12 + A1A22, soit d22 = d1² +1² donc d22 = 2 + 1 = 3 et d2 = 3. 2. Le triangle OAnAn+1 rectangle en An , donc OAn+12 = OAn2 + AnAn+12, soit dn+12 = dn² +1² soit dn+1 = d2 n + 1 pour tout entier")
25. Détail source à réviser : d22 = 2 + 1 = 3 et d2 = 3. 2. Le triangle OAnAn+1 rectangle en An , donc OAn+12 = OAn2 + AnAn+12, soit dn+12 = dn² +1² soit dn+1 = d2 n + 1 pour tout entier naturel n. II/ Sens de variation d’une suite : 1) Représentatio (Source: "d22 = 2 + 1 = 3 et d2 = 3. 2. Le triangle OAnAn+1 rectangle en An , donc OAn+12 = OAn2 + AnAn+12, soit dn+12 = dn² +1² soit dn+1 = d2 n + 1 pour tout entier naturel n. II/ Sens de variation d’une suite : 1) Représentation graphique : Définition : Dans un repère, la représentation graphique d’une suite (un ) est le nuage de points de coordonnées (n ; un)")
26. Détail source à réviser : suite : 1) Représentation graphique : Définition : Dans un repère, la représentation graphique d’une suite (un ) est le nuage de points de coordonnées (n ; un) où n  IN Exemple : ➢ Soit f la fonction définie sur [0 ;+∞[ (Source: "suite : 1) Représentation graphique : Définition : Dans un repère, la représentation graphique d’une suite (un ) est le nuage de points de coordonnées (n ; un) où n  IN Exemple : ➢ Soit f la fonction définie sur [0 ;+∞[ par f(x) = 2+x et (un) la suite définie par un = f(n) Calculer u0 ; u1 ; u3 ; u4. et représenter graphiquement la suite (un) Page 4")
27. Détail source à réviser : la fonction définie sur [0 ;+∞[ par f(x) = 2+x et (un) la suite définie par un = f(n) Calculer u0 ; u1 ; u3 ; u4. et représenter graphiquement la suite (un) Page 4 sur 6 Solution : 1) u0= f(0) = 2 ; u1= f(1) = 3 ; u2= f( (Source: "la fonction définie sur [0 ;+∞[ par f(x) = 2+x et (un) la suite définie par un = f(n) Calculer u0 ; u1 ; u3 ; u4. et représenter graphiquement la suite (un) Page 4 sur 6 Solution : 1) u0= f(0) = 2 ; u1= f(1) = 3 ; u2= f(2) =2 ; u3= f(3) = 5 et u4= f(4) = 6. Graphiquement, les termes de la suite u sont les ordonnées des points Mn(n ;un) d’abscisses entières")
28. Détail source à réviser : = 2 ; u1= f(1) = 3 ; u2= f(2) =2 ; u3= f(3) = 5 et u4= f(4) = 6. Graphiquement, les termes de la suite u sont les ordonnées des points Mn(n ;un) d’abscisses entières de la courbe Cf. Remarque : Une suite définie par récu (Source: "= 2 ; u1= f(1) = 3 ; u2= f(2) =2 ; u3= f(3) = 5 et u4= f(4) = 6. Graphiquement, les termes de la suite u sont les ordonnées des points Mn(n ;un) d’abscisses entières de la courbe Cf. Remarque : Une suite définie par récurrence peut être représentée graphiquement à l’aide d’une méthode géométrique particulière.(exercice du livre n°125 p 166) 2) Définition :")
29. Détail source à réviser : : Une suite définie par récurrence peut être représentée graphiquement à l’aide d’une méthode géométrique particulière.(exercice du livre n°125 p 166) 2) Définition : * Une suite (un ) est dite croissante Si, pour tout n (Source: ": Une suite définie par récurrence peut être représentée graphiquement à l’aide d’une méthode géométrique particulière.(exercice du livre n°125 p 166) 2) Définition : * Une suite (un ) est dite croissante Si, pour tout n de IN : u n +1  un * Une suite (un ) est décroissante lorsque, pour tout n de IN : u n +1  un * Une suite ( un ) est constante lorsque,")
30. Détail source à réviser : croissante Si, pour tout n de IN : u n +1  un * Une suite (un ) est décroissante lorsque, pour tout n de IN : u n +1  un * Une suite ( un ) est constante lorsque, pour tout n de IN : u n +1 = un Remarque : Soit (un) un (Source: "croissante Si, pour tout n de IN : u n +1  un * Une suite (un ) est décroissante lorsque, pour tout n de IN : u n +1  un * Une suite ( un ) est constante lorsque, pour tout n de IN : u n +1 = un Remarque : Soit (un) une suite définie sur IN. Dire qu’une suite est monotone signifie que (un) est croissante ou (un) est décroissante. Méthode Propriété 1 : •")
31. Détail source à réviser : = un Remarque : Soit (un) une suite définie sur IN. Dire qu’une suite est monotone signifie que (un) est croissante ou (un) est décroissante. Méthode Propriété 1 : • Si un+1 – un  0 pour tout naturel n, alors (un) est d (Source: "= un Remarque : Soit (un) une suite définie sur IN. Dire qu’une suite est monotone signifie que (un) est croissante ou (un) est décroissante. Méthode Propriété 1 : • Si un+1 – un  0 pour tout naturel n, alors (un) est décroissante • Si un+1 – un  0 pour tout naturel n, alors (un) est croissante • Si un+1 = un pour tout naturel n, alors (un) est constante")
32. Détail source à réviser : naturel n, alors (un) est décroissante • Si un+1 – un  0 pour tout naturel n, alors (un) est croissante • Si un+1 = un pour tout naturel n, alors (un) est constante ou stationnaire. Exemples : a) On considère la suite ( (Source: "naturel n, alors (un) est décroissante • Si un+1 – un  0 pour tout naturel n, alors (un) est croissante • Si un+1 = un pour tout naturel n, alors (un) est constante ou stationnaire. Exemples : a) On considère la suite (un) définie pour tout n  IN par : un = 5 n+1 Pour tout entier naturel n, un+1 – un = 5 n+2 - 5 n+1 = 5(n+1)-5(n+2) (n+1)(n+2) = 5n+5-5n-10")
33. Détail source à réviser : a) On considère la suite (un) définie pour tout n  IN par : un = 5 n+1 Pour tout entier naturel n, un+1 – un = 5 n+2 - 5 n+1 = 5(n+1)-5(n+2) (n+1)(n+2) = 5n+5-5n-10 (n+1)(n+2) = - 5 (n+1)(n+2) Or (n+1)(n+2) > 0 pour tou (Source: "a) On considère la suite (un) définie pour tout n  IN par : un = 5 n+1 Pour tout entier naturel n, un+1 – un = 5 n+2 - 5 n+1 = 5(n+1)-5(n+2) (n+1)(n+2) = 5n+5-5n-10 (n+1)(n+2) = - 5 (n+1)(n+2) Or (n+1)(n+2) > 0 pour tout entier naturel n et -5 < 0 Donc pour tout entier n, un+1 – un < 0, c'est-à-dire un+1 < un La suite (un) est strictement décroissante. b)")
34. Détail source à réviser : Or (n+1)(n+2) > 0 pour tout entier naturel n et -5 < 0 Donc pour tout entier n, un+1 – un < 0, c'est-à-dire un+1 < un La suite (un) est strictement décroissante. b) On considère la suite (un) définie pour tout n IN par (Source: "Or (n+1)(n+2) > 0 pour tout entier naturel n et -5 < 0 Donc pour tout entier n, un+1 – un < 0, c'est-à-dire un+1 < un La suite (un) est strictement décroissante. b) On considère la suite (un) définie pour tout n IN par un = 3 × 2n Page 5 sur 6 Pour tout entier naturel n, un+1 – un = 3 × 2n+1 - 3 × 2n = 3 × 2n × 2- 3 × 2n =3 × 2n(2-1) = 3 × 2n Or 3 × 2n >")
35. Détail source à réviser : définie pour tout n IN par un = 3 × 2n Page 5 sur 6 Pour tout entier naturel n, un+1 – un = 3 × 2n+1 - 3 × 2n = 3 × 2n × 2- 3 × 2n =3 × 2n(2-1) = 3 × 2n Or 3 × 2n > 0 pour tout entier naturel n Donc pour tout entier n, (Source: "définie pour tout n IN par un = 3 × 2n Page 5 sur 6 Pour tout entier naturel n, un+1 – un = 3 × 2n+1 - 3 × 2n = 3 × 2n × 2- 3 × 2n =3 × 2n(2-1) = 3 × 2n Or 3 × 2n > 0 pour tout entier naturel n Donc pour tout entier n, un+1 – un > 0, c'est-à-dire un+1 > un La suite (un) est strictement croissante. Remarque : La suite (un) définie par un = 5x(-0,8)n n’est")
36. Détail source à réviser : n Donc pour tout entier n, un+1 – un > 0, c'est-à-dire un+1 > un La suite (un) est strictement croissante. Remarque : La suite (un) définie par un = 5x(-0,8)n n’est pas monotone. En effet chaque terme d’indice pair, qui (Source: "n Donc pour tout entier n, un+1 – un > 0, c'est-à-dire un+1 > un La suite (un) est strictement croissante. Remarque : La suite (un) définie par un = 5x(-0,8)n n’est pas monotone. En effet chaque terme d’indice pair, qui est positif, est supérieur au terme précédent d’indice impair, qui est négatif, ainsi de suite. Propriété 2 : Soit (un) une suite définie,")
37. Détail source à réviser : terme d’indice pair, qui est positif, est supérieur au terme précédent d’indice impair, qui est négatif, ainsi de suite. Propriété 2 : Soit (un) une suite définie, pour tout entier n ≥ p, par une formule explicite un = f (Source: "terme d’indice pair, qui est positif, est supérieur au terme précédent d’indice impair, qui est négatif, ainsi de suite. Propriété 2 : Soit (un) une suite définie, pour tout entier n ≥ p, par une formule explicite un = f(n) où f est une fonction définie sur l’intervalle [p ; + ∞[. * Si f est croissante sur [p ; + ∞[, alors (un) est croissante à partir du")
38. Détail source à réviser : une formule explicite un = f(n) où f est une fonction définie sur l’intervalle [p ; + ∞[. * Si f est croissante sur [p ; + ∞[, alors (un) est croissante à partir du rang p. * Si f est décroissante sur [p ; + ∞[, alors (u (Source: "une formule explicite un = f(n) où f est une fonction définie sur l’intervalle [p ; + ∞[. * Si f est croissante sur [p ; + ∞[, alors (un) est croissante à partir du rang p. * Si f est décroissante sur [p ; + ∞[, alors (un) est décroissante à partir du rang p. Démonstration lorsque f est croissante sur [p ; + ∞[ Pour tout entier n ≥ p, on a n+1 ≥ n. La")
39. Détail source à réviser : sur [p ; + ∞[, alors (un) est décroissante à partir du rang p. Démonstration lorsque f est croissante sur [p ; + ∞[ Pour tout entier n ≥ p, on a n+1 ≥ n. La fonction f étant croissante, on en déduit que f(n+1) ≥ f(n). on (Source: "sur [p ; + ∞[, alors (un) est décroissante à partir du rang p. Démonstration lorsque f est croissante sur [p ; + ∞[ Pour tout entier n ≥ p, on a n+1 ≥ n. La fonction f étant croissante, on en déduit que f(n+1) ≥ f(n). on a alors un+1 ≥ un. La suite est croissante à partir du rang p. Remarque : • Les réciproques de ces propriétés sont fausses Exemple :")
40. Détail source à réviser : en déduit que f(n+1) ≥ f(n). on a alors un+1 ≥ un. La suite est croissante à partir du rang p. Remarque : • Les réciproques de ces propriétés sont fausses Exemple : La représentation suivante montre une suite décroissant (Source: "en déduit que f(n+1) ≥ f(n). on a alors un+1 ≥ un. La suite est croissante à partir du rang p. Remarque : • Les réciproques de ces propriétés sont fausses Exemple : La représentation suivante montre une suite décroissante alors que la fonction f correspondante n'est pas monotone. • Cette propriété ne s’applique pas aux suites définies par récurrence.")
41. Détail source à réviser : montre une suite décroissante alors que la fonction f correspondante n'est pas monotone. • Cette propriété ne s’applique pas aux suites définies par récurrence. Exercice : On considère la suite (un) définie Pour tout n ≥ (Source: "montre une suite décroissante alors que la fonction f correspondante n'est pas monotone. • Cette propriété ne s’applique pas aux suites définies par récurrence. Exercice : On considère la suite (un) définie Pour tout n ≥ 3 par : un = (n – 3)². ➢ Etudier le sens de variation de la suite. ✓ à la calculatrice (menu recur…..), on constate que la suite u semble")
42. Détail source à réviser : (un) définie Pour tout n ≥ 3 par : un = (n – 3)². ➢ Etudier le sens de variation de la suite. ✓ à la calculatrice (menu recur…..), on constate que la suite u semble strictement croissante ✓ Pour tout entier n ≥ 3, un =f( (Source: "(un) définie Pour tout n ≥ 3 par : un = (n – 3)². ➢ Etudier le sens de variation de la suite. ✓ à la calculatrice (menu recur…..), on constate que la suite u semble strictement croissante ✓ Pour tout entier n ≥ 3, un =f(n) où f est la fonction définie sur [3 ; +∞[ par f(x) = (x – 3)². La fonction f est strictement croissante sur [3 ; +∞[. Donc la suite")
43. Détail source à réviser : tout entier n ≥ 3, un =f(n) où f est la fonction définie sur [3 ; +∞[ par f(x) = (x – 3)². La fonction f est strictement croissante sur [3 ; +∞[. Donc la suite (un) est strictement croissante pour n ≥ 3 III/ Comportement (Source: "tout entier n ≥ 3, un =f(n) où f est la fonction définie sur [3 ; +∞[ par f(x) = (x – 3)². La fonction f est strictement croissante sur [3 ; +∞[. Donc la suite (un) est strictement croissante pour n ≥ 3 III/ Comportement d’une suite à l’infini 1) Suite convergente Exemple : Pour tout n de , on considère la suite (un) définie par : . On construit le")
44. Détail source à réviser : pour n ≥ 3 III/ Comportement d’une suite à l’infini 1) Suite convergente Exemple : Pour tout n de , on considère la suite (un) définie par : . On construit le tableau de valeurs avec des termes de la suite : Page 6 sur 6 (Source: "pour n ≥ 3 III/ Comportement d’une suite à l’infini 1) Suite convergente Exemple : Pour tout n de , on considère la suite (un) définie par : . On construit le tableau de valeurs avec des termes de la suite : Page 6 sur 6 n 1 2 3 4 5 10 15 50 500 3 2,5 2,333 2,25 2,2 2,1 2,067 2,02 2,002 Plus n devient grand, plus les termes de la suite semblent se")
45. Détail source à réviser : de la suite : Page 6 sur 6 n 1 2 3 4 5 10 15 50 500 3 2,5 2,333 2,25 2,2 2,1 2,067 2,02 2,002 Plus n devient grand, plus les termes de la suite semblent se rapprocher de 2. On dit que la suite (un) converge vers 2 et on (Source: "de la suite : Page 6 sur 6 n 1 2 3 4 5 10 15 50 500 3 2,5 2,333 2,25 2,2 2,1 2,067 2,02 2,002 Plus n devient grand, plus les termes de la suite semblent se rapprocher de 2. On dit que la suite (un) converge vers 2 et on note : . 2) Suite divergente Exemples : - Pour tout n de , on considère la suite (un) définie par : . Calculons quelques termes de")
46. Détail source à réviser : (un) converge vers 2 et on note : . 2) Suite divergente Exemples : - Pour tout n de , on considère la suite (un) définie par : . Calculons quelques termes de cette suite : u0 = 02 + 1 = 1, u1 = 12 + 1 = 2, u2 = 22 + 1 = (Source: "(un) converge vers 2 et on note : . 2) Suite divergente Exemples : - Pour tout n de , on considère la suite (un) définie par : . Calculons quelques termes de cette suite : u0 = 02 + 1 = 1, u1 = 12 + 1 = 2, u2 = 22 + 1 = 5, u10 = 102 + 1 = 101, u100 = 1002 + 1 = 10001. Plus n devient grand, plus les termes de la suite semblent devenir grand. On dit que")
47. Détail source à réviser : u1 = 12 + 1 = 2, u2 = 22 + 1 = 5, u10 = 102 + 1 = 101, u100 = 1002 + 1 = 10001. Plus n devient grand, plus les termes de la suite semblent devenir grand. On dit que la suite (un) diverge vers et on note : . - Pour tout n (Source: "u1 = 12 + 1 = 2, u2 = 22 + 1 = 5, u10 = 102 + 1 = 101, u100 = 1002 + 1 = 10001. Plus n devient grand, plus les termes de la suite semblent devenir grand. On dit que la suite (un) diverge vers et on note : . - Pour tout n de , on considère la suite (vn) définie par : et . Calculons les premiers termes de cette suite : = 2 = –2 = –2 = 2 = 2 Lorsque n devient")
48. Détail source à réviser : de la suite semblent devenir grand. On dit que la suite (un) diverge vers et on note : . - Pour tout n de , on considère la suite (vn) définie par : et . Calculons les premiers termes de cette suite : = 2 = –2 = –2 = 2 = (Source: "de la suite semblent devenir grand. On dit que la suite (un) diverge vers et on note : . - Pour tout n de , on considère la suite (vn) définie par : et . Calculons les premiers termes de cette suite : = 2 = –2 = –2 = 2 = 2 Lorsque n devient grand, les termes de la suite ne semblent pas se rapprocher vers une valeur unique. On dit que la suite (un)")
49. Détail source à réviser : 2 SUITES NUMERIQUES Généralités Dès l'Antiquité, Archimède de Syracuse (-287 ; -212), met en œuvre une procédure itérative pour trouver une approximation du nombre (Source: "2 SUITES NUMERIQUES Généralités Dès l'Antiquité, Archimède de Syracuse (-287 ; -212), met en œuvre une procédure itérative pour trouver une approximation du nombre")
50. Détail source à réviser : 1789 ; 1857) – ci-contre (Source: "1789 ; 1857) – ci-contre")
51. Détail source à réviser : 1) Les nombres : 0 ; 2 ; 4 ; 6 ; 8 ; 10 ; 12 ………… forment une suite (Source: "1) Les nombres : 0 ; 2 ; 4 ; 6 ; 8 ; 10 ; 12 ………… forment une suite")
52. Détail source à réviser : 2) Les nombres impairs forment une suite ( v n ) et sont définis par vn = 2n + 1 , n  IN v 0 = 1 est le 1° nombre impair ; v 1 = 3 est le 2° nombre impair (Source: "2) Les nombres impairs forment une suite ( v n ) et sont définis par vn = 2n + 1 , n  IN v 0 = 1 est le 1° nombre impair ; v 1 = 3 est le 2° nombre impair")
53. Détail source à réviser : indication : u(n+1) ≠ u(n) + 1 2) Mode de génération d’une suite : a) Par une formule explicite : un =f(n) Soit p un entier naturel et f une fonction définie sur [p ; +∞[ .On peut définir une suite (un) en posant, pour t (Source: "indication : u(n+1) ≠ u(n) + 1 2) Mode de génération d’une suite : a) Par une formule explicite : un =f(n) Soit p un entier naturel et f une fonction définie sur [p ; +∞[ .On peut définir une suite (un) en posant, pour tout entier n ≥ p, un =f(n). On dit que la suite est définie par une relation explicite (le terme général est en fonction de l’indice n)....")
54. Détail source à réviser : 2) Mode de génération d’une suite : a) Par une formule explicite : un =f(n) Soit p un entier naturel et f une fonction définie sur [p ; +∞[ (Source: "2) Mode de génération d’une suite : a) Par une formule explicite : un =f(n) Soit p un entier naturel et f une fonction définie sur [p ; +∞[")
55. Détail source à réviser : 5. ➢ Soit f la fonction définie sur [0 ;+∞[ par f(x) = 2+x et (un) la suite définie par un = f(n) Calculer u0 ; u1 ; u3 ; u4 (Source: "5. ➢ Soit f la fonction définie sur [0 ;+∞[ par f(x) = 2+x et (un) la suite définie par un = f(n) Calculer u0 ; u1 ; u3 ; u4")
56. Détail source à réviser : Exemple : Pour la suite (vn), déterminer les termes jusqu’au rang n = 5. (vn) telle que pour tout entier naturel n (vn) :    v0 = 1 v n+1 = 2 vn + 1 c) Par un algorithme La suite (un) est alors définie par son premi (Source: "Exemple : Pour la suite (vn), déterminer les termes jusqu’au rang n = 5. (vn) telle que pour tout entier naturel n (vn) :    v0 = 1 v n+1 = 2 vn + 1 c) Par un algorithme La suite (un) est alors définie par son premier terme et des instructions d’une boucle Pour, qui permettent de calculer les termes suivants. Exemple : Pseudo-code (1) langage Python...")
57. Détail source à réviser : c) Sachent que u0 = 5 , calculer les 4 premiers termes (Source: "c) Sachent que u0 = 5 , calculer les 4 premiers termes")
58. Détail source à réviser : d) Modifier l’algorithme pour trouver le plus petit entier n pour lequel le terme de rang n dépasse 500. Page 3 sur 6 N=6 d) Par un motif géométrique La suite (un) est alors définie comme une quantité géométrique(longueu (Source: "d) Modifier l’algorithme pour trouver le plus petit entier n pour lequel le terme de rang n dépasse 500. Page 3 sur 6 N=6 d) Par un motif géométrique La suite (un) est alors définie comme une quantité géométrique(longueur, angle, etc…)dans une figure où un motif particulier se répète. Exemple : La (un) définie par le nombre de points de chaque triangle ci...")
59. Détail source à réviser : 1. On construit le triangle OA1A2 rectangle en A1 tel que A1A2 = 1, puis le triangle OA2A3 rectangle en A2 tel que A2A3= 1 (Source: "1. On construit le triangle OA1A2 rectangle en A1 tel que A1A2 = 1, puis le triangle OA2A3 rectangle en A2 tel que A2A3= 1")
60. Détail source à réviser : Le triangle OAnAn+1 rectangle en An , donc OAn+12 = OAn2 + AnAn+12, soit dn+12 = dn² +1² soit dn+1 = d2 n + 1 pour tout entier naturel n. II/ Sens de variation d’une suite : 1) Représentation graphique : Définition : Dan (Source: "Le triangle OAnAn+1 rectangle en An , donc OAn+12 = OAn2 + AnAn+12, soit dn+12 = dn² +1² soit dn+1 = d2 n + 1 pour tout entier naturel n. II/ Sens de variation d’une suite : 1) Représentation graphique : Définition : Dans un repère, la représentation graphique d’une suite (un ) est le nuage de points de coordonnées (n ; un) où n  IN Exemple : ➢ Soit f la...")
61. Détail source à réviser : 1) Représentation graphique : Définition : Dans un repère, la représentation graphique d’une suite (un ) est le nuage de points de coordonnées (n ; un) où n  IN Exemple : ➢ Soit f la fonction définie sur [0 ;+∞[ par f(x (Source: "1) Représentation graphique : Définition : Dans un repère, la représentation graphique d’une suite (un ) est le nuage de points de coordonnées (n ; un) où n  IN Exemple : ➢ Soit f la fonction définie sur [0 ;+∞[ par f(x) = 2+x et (un) la suite définie par un = f(n) Calculer u0 ; u1 ; u3 ; u4")
62. Détail source à réviser : et représenter graphiquement la suite (un) Page 4 sur 6 Solution : 1) u0= f(0) = 2 ; u1= f(1) = 3 ; u2= f(2) =2 ; u3= f(3) = 5 et u4= f(4) = 6. Graphiquement, les termes de la suite u sont les ordonnées des points Mn(n ; (Source: "et représenter graphiquement la suite (un) Page 4 sur 6 Solution : 1) u0= f(0) = 2 ; u1= f(1) = 3 ; u2= f(2) =2 ; u3= f(3) = 5 et u4= f(4) = 6. Graphiquement, les termes de la suite u sont les ordonnées des points Mn(n ;un) d’abscisses entières de la courbe Cf. Remarque : Une suite définie par récurrence peut être représentée graphiquement à l’aide d’une...")
63. Détail source à réviser : 166) 2) Définition : * Une suite (un ) est dite croissante Si, pour tout n de IN : u n +1  un * Une suite (un ) est décroissante lorsque, pour tout n de IN : u n +1  un * Une suite ( un ) est constante lorsque, pour to (Source: "166) 2) Définition : * Une suite (un ) est dite croissante Si, pour tout n de IN : u n +1  un * Une suite (un ) est décroissante lorsque, pour tout n de IN : u n +1  un * Une suite ( un ) est constante lorsque, pour tout n de IN : u n +1 = un Remarque : Soit (un) une suite définie sur IN")
64. Détail source à réviser : Exemples : a) On considère la suite (un) définie pour tout n  IN par : un = 5 n+1 Pour tout entier naturel n, un+1 – un = 5 n+2 - 5 n+1 = 5(n+1)-5(n+2) (n+1)(n+2) = 5n+5-5n-10 (n+1)(n+2) = - 5 (n+1)(n+2) Or (n+1)(n+2) > (Source: "Exemples : a) On considère la suite (un) définie pour tout n  IN par : un = 5 n+1 Pour tout entier naturel n, un+1 – un = 5 n+2 - 5 n+1 = 5(n+1)-5(n+2) (n+1)(n+2) = 5n+5-5n-10 (n+1)(n+2) = - 5 (n+1)(n+2) Or (n+1)(n+2) > 0 pour tout entier naturel n et -5 < 0 Donc pour tout entier n, un+1 – un < 0, c'est-à-dire un+1 < un La suite (un) est strictement décr...")
65. Détail source à réviser : b) On considère la suite (un) définie pour tout n IN par un = 3 × 2n Page 5 sur 6 Pour tout entier naturel n, un+1 – un = 3 × 2n+1 - 3 × 2n = 3 × 2n × 2- 3 × 2n =3 × 2n(2-1) = 3 × 2n Or 3 × 2n > 0 pour tout entier natur (Source: "b) On considère la suite (un) définie pour tout n IN par un = 3 × 2n Page 5 sur 6 Pour tout entier naturel n, un+1 – un = 3 × 2n+1 - 3 × 2n = 3 × 2n × 2- 3 × 2n =3 × 2n(2-1) = 3 × 2n Or 3 × 2n > 0 pour tout entier naturel n Donc pour tout entier n, un+1 – un > 0, c'est-à-dire un+1 > un La suite (un) est strictement croissante")
66. Détail source à réviser : naturel n Donc pour tout entier n, un+1 – un > 0, c'est-à-dire un+1 > un La suite (un) est strictement croissante. (Source: "naturel n Donc pour tout entier n, un+1 – un > 0, c'est-à-dire un+1 > un La suite (un) est strictement croissante.")
67. Détail source à réviser : * Si f est croissante sur [p ; + ∞[, alors (un) est croissante à partir du rang p. * Si f est décroissante sur [p ; + ∞[, alors (un) est décroissante à partir du rang p. Démonstration lorsque f est croissante sur [p ; + (Source: "* Si f est croissante sur [p ; + ∞[, alors (un) est croissante à partir du rang p. * Si f est décroissante sur [p ; + ∞[, alors (un) est décroissante à partir du rang p. Démonstration lorsque f est croissante sur [p ; + ∞[ Pour tout entier n ≥ p, on a n+1 ≥ n. La fonction f étant croissante, on en déduit que f(n+1) ≥ f(n). on a alors un+1 ≥ un. La suite e...")
68. Détail source à réviser : p. Remarque : • Les réciproques de ces propriétés sont fausses Exemple : La représentation suivante montre une suite décroissante alors que la fonction f correspondante n'est pas monotone (Source: "p. Remarque : • Les réciproques de ces propriétés sont fausses Exemple : La représentation suivante montre une suite décroissante alors que la fonction f correspondante n'est pas monotone")
69. Détail source à réviser : Exercice : On considère la suite (un) définie Pour tout n ≥ 3 par : un = (n – 3)² (Source: "Exercice : On considère la suite (un) définie Pour tout n ≥ 3 par : un = (n – 3)²")
70. Détail source à réviser : 1) Suite convergente Exemple : Pour tout n de , on considère la suite (un) définie par : (Source: "1) Suite convergente Exemple : Pour tout n de , on considère la suite (un) définie par :")
71. Détail source à réviser : 2) Suite divergente Exemples : - Pour tout n de , on considère la suite (un) définie par : (Source: "2) Suite divergente Exemples : - Pour tout n de , on considère la suite (un) définie par :")
72. Détail source à réviser : - Pour tout n de , on considère la suite (vn) définie par : et (Source: "- Pour tout n de , on considère la suite (vn) définie par : et")
73. Détail source à réviser : 2. On dit que la suite (un) converge vers 2 et on note : (Source: "2. On dit que la suite (un) converge vers 2 et on note :")
74. Détail source à réviser : 1) Définition : Une suite numérique u définie à partir du rang p est une fonction qui à chaque entier n ≥ p associe un nombre réel, noté u(n) ou un (Source: "1) Définition : Une suite numérique u définie à partir du rang p est une fonction qui à chaque entier n ≥ p associe un nombre réel, noté u(n) ou un")
75. Détail source à réviser : b) Par une formule de récurrence : un+1 = f(un) On peut définir une suite par les deux données suivantes : * Le terme initial (le premier terme) (Source: "b) Par une formule de récurrence : un+1 = f(un) On peut définir une suite par les deux données suivantes : * Le terme initial (le premier terme)")
76. Détail source à réviser : Exemple : La (un) définie par le nombre de points de chaque triangle ci-dessous : On a alors : u0 =0(pas de triangle), u1=1, u2 =3, u3=6, u4 =10… Exercice : On considère un triangle OA0A1 rectangle en A0 tel que A0A1 = 1 (Source: "Exemple : La (un) définie par le nombre de points de chaque triangle ci-dessous : On a alors : u0 =0(pas de triangle), u1=1, u2 =3, u3=6, u4 =10… Exercice : On considère un triangle OA0A1 rectangle en A0 tel que A0A1 = 1. On construit le triangle OA1A2 rectangle en A1 tel que A1A2 = 1, puis le triangle OA2A3 rectangle en A2 tel que A2A3= 1. On poursuit le...")
77. Détail source à réviser : 1. En utilisant le théorème de Pythagore dans le triangle OA0A1 rectangle en A0, on obtient : OA12 = OA02 + A0A12, soit d12 = 1²+1² donc d1 = 2 (Source: "1. En utilisant le théorème de Pythagore dans le triangle OA0A1 rectangle en A0, on obtient : OA12 = OA02 + A0A12, soit d12 = 1²+1² donc d1 = 2")
78. Détail source à réviser : 2. Le triangle OAnAn+1 rectangle en An , donc OAn+12 = OAn2 + AnAn+12, soit dn+12 = dn² +1² soit dn+1 = d2 n + 1 pour tout entier naturel n (Source: "2. Le triangle OAnAn+1 rectangle en An , donc OAn+12 = OAn2 + AnAn+12, soit dn+12 = dn² +1² soit dn+1 = d2 n + 1 pour tout entier naturel n")
79. Détail source à réviser : 5. (vn) telle que pour tout entier naturel n (vn) :    v0 = 1 v n+1 = 2 vn + 1 c) Par un algorithme La suite (un) est alors définie par son premier terme et des instructions d’une boucle Pour, qui permettent de calc (Source: "5. (vn) telle que pour tout entier naturel n (vn) :    v0 = 1 v n+1 = 2 vn + 1 c) Par un algorithme La suite (un) est alors définie par son premier terme et des instructions d’une boucle Pour, qui permettent de calculer les termes suivants")
80. Détail source à réviser : 3) Soit la suite ( w n ) n  IN* définie par wn = 1 n , n  IN* (Source: "3) Soit la suite ( w n ) n  IN* définie par wn = 1 n , n  IN*")
81. Détail source à réviser : 1) u0= f(0) = 2 ; u1= f(1) = 3 ; u2= f(2) =2 ; u3= f(3) = 5 et u4= f(4) = 6 (Source: "1) u0= f(0) = 2 ; u1= f(1) = 3 ; u2= f(2) =2 ; u3= f(3) = 5 et u4= f(4) = 6")
82. Détail source à réviser : 2) Montrer que pour tout entier naturel n, dn+1 = 1 + dn2 (Source: "2) Montrer que pour tout entier naturel n, dn+1 = 1 + dn2")
83. Détail source à réviser : d) Modifier l’algorithme pour trouver le plus petit entier n pour lequel le terme de rang n dépasse 500 (Source: "d) Modifier l’algorithme pour trouver le plus petit entier n pour lequel le terme de rang n dépasse 500")
84. Détail source à réviser : Donc la suite (un) est strictement croissante pour n ≥ 3 III/ Comportement d’une suite à l’infini 1) Suite convergente Exemple : Pour tout n de , on considère la suite (un) définie par : (Source: "Donc la suite (un) est strictement croissante pour n ≥ 3 III/ Comportement d’une suite à l’infini 1) Suite convergente Exemple : Pour tout n de , on considère la suite (un) définie par :")
85. Détail source à réviser : Exemple : Pseudo-code (1) langage Python (1) Définir suite(n) Pour i allant de 0 jusqu’à n u i + 2 afficher u FinPour Exercice : a) Que fait cet algorithme ?. b) Donner la formule de récurrence utilisée dans cet algorith (Source: "Exemple : Pseudo-code (1) langage Python (1) Définir suite(n) Pour i allant de 0 jusqu’à n u i + 2 afficher u FinPour Exercice : a) Que fait cet algorithme ?. b) Donner la formule de récurrence utilisée dans cet algorithme. c) Sachent que u0 = 5 , calculer les 4 premiers termes.")
86. Détail source à réviser : d) Par un motif géométrique La suite (un) est alors définie comme une quantité géométrique(longueur, angle, etc…)dans une figure où un motif particulier se répète (Source: "d) Par un motif géométrique La suite (un) est alors définie comme une quantité géométrique(longueur, angle, etc…)dans une figure où un motif particulier se répète")
87. Détail source à réviser : p. * Si f est décroissante sur [p ; + ∞[, alors (un) est décroissante à partir du rang p (Source: "p. * Si f est décroissante sur [p ; + ∞[, alors (un) est décroissante à partir du rang p")
88. Détail source à réviser : Ecrire les 5 premiers termes de la suite et le terme wn+1 Remarques : • un+1 est le terme d’indice n+1 ; c'est-à-dire le terme qui suit le terme un (le terme d’indice n) (Source: "Ecrire les 5 premiers termes de la suite et le terme wn+1 Remarques : • un+1 est le terme d’indice n+1 ; c'est-à-dire le terme qui suit le terme un (le terme d’indice n)")
89. Détail source à réviser : • un-1 est le terme d’indice n-1 ; c'est-à-dire le terme qui précède le terme un (le terme d’indice n) (Source: "• un-1 est le terme d’indice n-1 ; c'est-à-dire le terme qui précède le terme un (le terme d’indice n)")
90. Détail source à réviser : Exemple : Pseudo-code (1) langage Python (1) Définir suite(n) Pour i allant de 0 jusqu’à n u i + 2 afficher u FinPour Exercice : a) Que fait cet algorithme (Source: "Exemple : Pseudo-code (1) langage Python (1) Définir suite(n) Pour i allant de 0 jusqu’à n u i + 2 afficher u FinPour Exercice : a) Que fait cet algorithme")
91. Détail source à réviser : b) Donner la formule de récurrence utilisée dans cet algorithme (Source: "b) Donner la formule de récurrence utilisée dans cet algorithme")
92. Détail source à réviser : n. La fonction f étant croissante, on en déduit que f(n+1) ≥ f(n) (Source: "n. La fonction f étant croissante, on en déduit que f(n+1) ≥ f(n)")
93. Détail source à réviser : On construit le tableau de valeurs avec des termes de la suite : Page 6 sur 6 n 1 2 3 4 5 10 15 50 500 3 2,5 2,333 2,25 2,2 2,1 2,067 2,02 2,002 Plus n devient grand, plus les termes de la suite semblent se rapprocher de (Source: "On construit le tableau de valeurs avec des termes de la suite : Page 6 sur 6 n 1 2 3 4 5 10 15 50 500 3 2,5 2,333 2,25 2,2 2,1 2,067 2,02 2,002 Plus n devient grand, plus les termes de la suite semblent se rapprocher de 2")
94. Détail source à réviser : Calculons quelques termes de cette suite : u0 = 02 + 1 = 1, u1 = 12 + 1 = 2, u2 = 22 + 1 = 5, u10 = 102 + 1 = 101, u100 = 1002 + 1 = 10001 (Source: "Calculons quelques termes de cette suite : u0 = 02 + 1 = 1, u1 = 12 + 1 = 2, u2 = 22 + 1 = 5, u10 = 102 + 1 = 101, u100 = 1002 + 1 = 10001")
95. Détail source à réviser : Page 3 sur 6 N=6 d) Par un motif géométrique La suite (un) est alors définie comme une quantité géométrique(longueur, angle, etc…)dans une figure où un motif particulier se répète (Source: "Page 3 sur 6 N=6 d) Par un motif géométrique La suite (un) est alors définie comme une quantité géométrique(longueur, angle, etc…)dans une figure où un motif particulier se répète")
96. Détail source à réviser : Le triangle OAnAn+1 rectangle en An , donc OAn+12 = OAn2 + AnAn+12, soit dn+12 = dn² +1² soit dn+1 = d2 n + 1 pour tout entier naturel n (Source: "Le triangle OAnAn+1 rectangle en An , donc OAn+12 = OAn2 + AnAn+12, soit dn+12 = dn² +1² soit dn+1 = d2 n + 1 pour tout entier naturel n")

📅 Repères chronologiques

Date	Événement
-287	Archimède de Syracuse met en œuvre une procédure pour approximer π
-212	Fin de vie d'Archimède de Syracuse

📊 Tableaux de Synthèse

Caractéristique	Suite (u_n)	Définition / Exemple	Méthode de définition	Représentation graphique	Sens de variation	Convergence / Divergence
Termes	u_n, u_p	u_n = 2n (nombres pairs), v_n=2n+1, w_n=1/n	Formule explicite, récurrente, algorithme, motif géométrique	Nuage de points (n ; u_n)	Croissante si u_{n+1} ≥ u_n, décroissante si u_{n+1} ≤ u_n	Converge si termes approchent une limite finie, diverge vers +∞ ou oscillent
Définition	Fonction discrète à partir d’un entier naturel	Termes successifs calculés via formule ou récurrence	Par formule explicite ou récurrente, algorithme ou motif géométrique	Visualisation par graphique dans un repère orthonormé	Monotone si croissante/décroissante, sinon non monotone	Diverge si ne tend pas vers une limite finie

⚠️ Pièges & Confusions Fréquentes

1. Confondre suite définie par formule explicite et par récurrence.
2. Assumer qu’une suite monotone converge toujours.
3. Confondre divergence vers +∞ et divergence oscillante.
4. Négliger l’impact du sens de variation sur la convergence.
5. Mal interpréter la représentation graphique comme preuve de comportement.
6. Oublier que la suite peut être définie par un algorithme ou un motif géométrique sans formule explicite.
7. Confondre le sens de variation avec la monotonie d’une fonction continue associée.

✅ Checklist Examen

1. Définir une suite numérique et donner des exemples concrets.
2. Expliquer la différence entre formule explicite, récurrente, algorithme et motif géométrique.
3. Calculer un terme à partir d’une formule explicite ou récurrente.
4. Représenter graphiquement une suite dans un repère orthonormé.
5. Déterminer si une suite est croissante, décroissante, constante ou monotone à partir de ses termes.
6. Utiliser le critère de comparaison des termes consécutifs pour analyser la monotonicité.
7. Relier la monotonie d’une fonction définissant une suite explicite au sens de variation de la suite.
8. Étudier le sens de variation d’une suite définie par une fonction explicite à l’aide du calcul de différences.
9. Identifier si une suite converge ou diverge, et préciser le type de divergence (vers une limite finie, +∞ ou oscillation).
10. Illustrer la convergence ou divergence par un exemple numérique précis.
11. Comprendre la notion de divergence oscillante et ses caractéristiques.
12. Maîtriser les exemples concrets d’étude du sens de variation (ex : suites polynomiales, géométriques).