Quiz: Critère de colinéarité et alignement vectoriel — 14 domande

1. Quand deux vecteurs sont-ils dits colinéaires ?

A. Lorsque leurs directions sont perpendiculaires

B. Lorsque leurs coordonnées sont exactement opposées

C. Lorsque l’un est égal à un réel non nul multiplié par l’autre

D. Lorsque leurs normes sont égales

Answer: (C)

Spiegazione

Deux vecteurs sont colinéaires s’il existe un réel non nul k tel que l’un soit le multiple de l’autre. Des normes égales ou l’opposition des coordonnées ne suffisent pas à établir cette relation.

2. Que dit la convention concernant le vecteur nul ?

A. Il n’est colinéaire qu’aux vecteurs de même norme

B. Il est colinéaire à tout vecteur

C. Il n’est colinéaire qu’aux vecteurs de même sens

D. Il n’est jamais colinéaire à un autre vecteur

Answer: (B)

Spiegazione

Par convention, le vecteur nul est considéré comme colinéaire à tous les vecteurs. Cette convention permet notamment d’inclure le cas nul dans le critère de colinéarité.

3. Comment calcule-t-on le déterminant de deux vecteurs vec{u}(x;y) et vec{v}(x';y') en coordonnées ?

A. x×x' - y×y'

B. x×y + x'×y'

C. x×y' - x'×y

D. x'×y - x×y'

Answer: (C)

Spiegazione

Le déterminant de deux vecteurs de coordonnées (x;y) et (x';y') vaut x y' - x' y. L’écriture inverse donne l’opposé du déterminant, donc pas la bonne formule.

4. À quoi correspond le calcul du déterminant dans une base donnée ?

A. À la somme des longueurs des deux vecteurs

B. À la différence de leurs abscisses uniquement

C. À l’angle formé par les deux vecteurs

D. À une valeur qui dépend des coordonnées des deux vecteurs dans cette base

Answer: (D)

Spiegazione

Le déterminant se calcule à partir des coordonnées des vecteurs exprimées dans une base choisie. Il ne donne pas directement une longueur ou un angle.

5. Quel lien existe entre la colinéarité de deux vecteurs et leur déterminant ?

A. Ils sont colinéaires si et seulement si leurs coordonnées sont égales

B. Ils sont colinéaires si et seulement si leur déterminant vaut 1

C. Ils sont colinéaires si et seulement si leur déterminant est nul

D. Ils sont colinéaires si et seulement si leur déterminant est positif

Answer: (C)

Spiegazione

Le critère de colinéarité est l’équivalence : colinéaires ⇔ déterminant nul. Un déterminant non nul signifie au contraire que les vecteurs ne sont pas colinéaires.

6. Que peut-on conclure si x y' - x' y n’est pas nul ?

A. Les deux vecteurs ne sont pas colinéaires

B. Les deux vecteurs sont forcément égaux

C. L’un des vecteurs est forcément nul

D. Les deux vecteurs sont nécessairement de même sens

Answer: (A)

Spiegazione

Si x y' - x' y est différent de 0, alors le déterminant n’est pas nul et les vecteurs ne sont pas colinéaires. La non-nullité exclut précisément la colinéarité.

7. Dans le sens direct de la démonstration, quelle hypothèse permet d’écrire x' = kx et y' = ky ?

A. Le fait que le déterminant soit nul

B. Le fait que les deux vecteurs aient même norme

C. Le fait que les vecteurs soient tous deux nuls

D. Le fait que vec{v} soit un multiple non nul de vec{u}

Answer: (D)

Spiegazione

Dans le sens direct, on part de vec{v}=kvec{u} avec k non nul, ce qui donne x'=kx et y'=ky. Le déterminant nul est une conséquence de cette relation, pas l’hypothèse de départ.

8. Dans le sens réciproque, que fait-on lorsque deux vecteurs non nuls vérifient x y' - x' y = 0 ?

A. On remplace x et y par 0

B. On choisit une coordonnée non nulle de vec{u} pour définir un réel k

C. On affirme que les deux vecteurs sont perpendiculaires

D. On conclut immédiatement que les vecteurs sont égaux

Answer: (B)

Spiegazione

La démonstration consiste à choisir une coordonnée non nulle de vec{u}, puis à poser k = x'/x afin de montrer que vec{v}=kvec{u}. Cela permet d’établir la colinéarité à partir du déterminant nul.

9. Quel critère permet de montrer que trois points A, B et C sont alignés ?

A. Les longueurs AB et AC sont égales

B. Les droites (AB) et (AC) sont parallèles

C. Les vecteurs vec{AB} et vec{BC} sont égaux

D. Les vecteurs vec{AB} et vec{AC} sont colinéaires

Answer: (D)

Spiegazione

Trois points sont alignés si et seulement si les vecteurs issus d’un même point, ici vec{AB} et vec{AC}, sont colinéaires. L’égalité des longueurs ne suffit pas.

10. Comment caractérise-t-on le parallélisme de deux droites comme (AB) et (CD) ?

A. Par la colinéarité de vec{AB} et vec{CD}

B. Par l’orthogonalité de leurs vecteurs directeurs

C. Par l’égalité des segments AB et CD

D. Par la colinéarité de vec{AC} et vec{BD}

Answer: (A)

Spiegazione

Deux droites sont parallèles si et seulement si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires, par exemple vec{AB} et vec{CD}. Les autres propositions ne traduisent pas le parallélisme.

11. Quelle est la première étape pour montrer que trois points sont alignés par la méthode du cours ?

A. Tracer le cercle passant par les trois points

B. Comparer vec{BA} et vec{CA} sans cohérence de départ

C. Calculer vec{AB} puis vec{AC} à partir des coordonnées

D. Calculer uniquement la longueur AB

Answer: (C)

Spiegazione

La méthode commence par calculer les vecteurs vec{AB} et vec{AC} à partir des coordonnées des points. On vérifie ensuite qu’ils sont multiples l’un de l’autre.

12. Dans l’exemple de la méthode, quelle relation permet de conclure à l’alignement ?

A. vec{AB} + vec{AC} = vec{0}

B. vec{AC} = -2vec{AB}

C. vec{AB} vec{AC} = 0

D. vec{AC} = vec{AB}

Answer: (B)

Spiegazione

Comme vec{AC} est un multiple de vec{AB}, les deux vecteurs sont colinéaires, ce qui prouve l’alignement des points. La relation vec{AC} = -2vec{AB} donne précisément ce multiple.

13. Quelle égalité caractérise le milieu I du segment [AB] ?

A. vec{AI} = vec{IB}

B. vec{AI} = vec{BI}

C. vec{AI} = vec{AB}

D. vec{IA} = vec{AB}

Answer: (A)

Spiegazione

Le milieu partage le segment en deux parties égales, ce qui se traduit par vec{AI} = vec{IB}. Cette égalité exprime des déplacements de même direction et de même longueur.

14. Quelle autre écriture équivalente permet de reconnaître que I est le milieu de [AB] ?

A. vec{IA} = vec{AB}+vec{IB}

B. vec{AI} = 2vec{AB}

C. vec{IB} = frac{1}{2}vec{IA}

D. vec{AI} = frac{1}{2}vec{AB}

Answer: (D)

Spiegazione

Dire que I est le milieu revient aussi à écrire que vec{AI} est la moitié de vec{AB}. C’est une formulation équivalente aux autres critères du milieu, comme vec{IA}+vec{IB}=vec{0}.