Flashcard: Dérivation et convexité — 37 carte

Qu'est-ce qu'une fonction composée v ∘ u ?

C'est la fonction définie par (v ∘ u)(x) = v(u(x)).

Sur quel ensemble est définie la fonction composée v ∘ u ?

Elle est définie sur l'ensemble I.

Qu'impose la composition des fonctions sur leur commutativité ?

La composition des fonctions n'est pas commutative en général.

Quelle est la dérivée de la composée (v ∘ u)(x) si u et v sont dérivables ?

C'est v'(u(x)) × u'(x).

Quelle est la dérivée de la fonction au+b avec u dérivable et a,b constants ?

La dérivée est au'.

Quelle est la dérivée de u^n pour une fonction dérivable u ?

C'est nu'u^{n-1}.

Quelle est la dérivée de 1/u pour une fonction dérivable u ?

C'est -u'/u^2.

Quelle est la dérivée de √u pour une fonction dérivable u ?

C'est u'/(2√u).

Quelle est la dérivée de e^u pour une fonction dérivable u ?

C'est u'e^u.

Quelle est la dérivée de 1/u^n pour une fonction dérivable u ?

C'est -n u'/u^{n+1}.

Quelle est la monotonie de la composée de deux fonctions de même monotonie ?

Elle est croissante.

Quelle est la monotonie de la composée de deux fonctions de monotonies contraires ?

Elle est décroissante.

Qu'est-ce que la dérivée seconde d'une fonction f ?

C'est la dérivée de la dérivée première f'.

Comment se note la dérivée seconde de f ?

Elle se note f''(x) = (f'(x))'.

Quelle est la première étape pour étudier les variations de f avec f'' ?

On calcule f''.

Que fait-on après avoir calculé f'' pour étudier les variations de f ?

On étudie le signe de f''.

Que déduit-on du signe de f'' dans l'étude des variations de f ?

On en déduit les variations de f'.

Comment utilise-t-on le signe de f' pour étudier f ?

On détermine les variations de f.

Qu'impose la convexité d'une fonction sur un intervalle ?

Sa courbe est en dessous de ses sécantes sur cet intervalle.

Qu'impose la concavité d'une fonction sur un intervalle ?

Sa courbe est au-dessus de ses sécantes sur cet intervalle.

Qu'est-ce qu'une sécante d'une courbe ?

Un segment reliant deux points de cette courbe.

Qu'impose la convexité d'une fonction dérivable sur sa courbe ?

La courbe est entièrement au-dessus de chacune de ses tangentes.

Qu'impose la concavité d'une fonction dérivable sur sa courbe ?

La courbe est entièrement en dessous de chacune de ses tangentes.

Quelle condition sur f' caractérise la convexité de f sur I ?

f' est croissante sur I.

Quelle inégalité doit satisfaire f''(x) pour que f soit convexe sur I ?

f''(x) ≥ 0 pour tout x de I.

Quelle condition sur f' caractérise la concavité de f sur I ?

f' est décroissante sur I.

Quelle inégalité doit satisfaire f''(x) pour que f soit concave sur I ?

f''(x) ≤ 0 pour tout x de I.

Quelle est la première étape pour démontrer une inégalité par convexité ?

Étudier la convexité de la fonction.

Que fait-on après avoir étudié la convexité pour démontrer une inégalité ?

On détermine une tangente adaptée.

Quelle est la dernière étape pour démontrer une inégalité par convexité ?

Utiliser la position de la courbe par rapport à la tangente.

Quelle fonction est étudiée pour obtenir une inégalité sur les réels négatifs ?

La fonction f(x)=x^3−2x^2.

Quelle tangente est utilisée pour démontrer l'inégalité sur f(x) en −1 ?

La tangente en −1.

Quelle inégalité obtient-on pour tout réel négatif x avec f(x)=x^3−2x^2 ?

x^3−2x^2 ≤ 7x+4.

Qu'est-ce qu'un point d'inflexion ?

Un point où la courbe traverse sa tangente.

Quelle condition caractérise un point d'inflexion pour une fonction deux fois dérivable ?

La dérivée seconde s'annule en ce point en changeant de signe.

Comment utilise-t-on les tableaux de variations pour esquisser une courbe ?

Ils déterminent les variations, la convexité et les changements de forme.

Que lit-on sur la représentation graphique de f, f' ou f'' ?

Les intervalles de convexité, concavité et les points d’inflexion.