Flashcard: Dérivation et fonctions composées — 36 carte

Quelle est la dérivée d'une constante réelle a ?

La dérivée est 0.

Quelle est la dérivée de la fonction x ↦ ax avec a réel ?

La dérivée est a.

Quelle est la dérivée de x^n pour n entier ≥ 1 ?

La dérivée est nx^{n-1}.

Quelle est la dérivée de √x ?

La dérivée est 1/(2√x).

Quelle est la dérivée de e^{kx} avec k réel ?

La dérivée est ke^{kx}.

Quelle est l'équation de la tangente à la courbe de f en a ?

y = f'(a)(x - a) + f(a)

Que signifie f'(x) ≤ 0 sur un intervalle pour la fonction f ?

f est décroissante sur cet intervalle.

Quelles étapes suivent pour étudier les variations d'une fonction ?

Calculer la dérivée, déterminer son signe, construire le tableau de variations.

Quelle est la dérivée de f(x)=x^3+(9/2)x^2-12x+5 ?

f'(x) = 3x^2 + 9x - 12

Quelles sont les racines de f'(x) = 3x^2 + 9x - 12 ?

Les racines sont -4 et 1.

Sur quels intervalles f est-elle croissante pour f(x)=x^3+(9/2)x^2-12x+5 ?

f est croissante sur ]-∞;-4] et [1;+∞[.

Sur quel intervalle f est-elle décroissante pour f(x)=x^3+(9/2)x^2-12x+5 ?

f est décroissante sur [-4;1].

Quelle est la dérivée de la somme u+v ?

C'est u'+v'.

Quelle est la dérivée du produit uv ?

C'est u'v+uv'.

Quelle est la dérivée de ku avec k constant réel ?

C'est ku'.

Quelle est la dérivée de 1/u ?

C'est -u'/u².

Quelle est la dérivée du quotient u/v ?

C'est (u'v - uv')/v².

Qu'est-ce qu'une fonction composée de u par v ?

C'est la fonction définie par (v∘u)(x) = v(u(x)).

Comment identifier une fonction composée f = v∘u ?

On repère une fonction intérieure u puis une fonction extérieure v qui s'applique au résultat.

Comment écrire f(x) = √(x-3) comme une composée ?

f = v∘u avec u(x) = x-3 et v(x) = √x.

v∘u et u∘v donnent-ils toujours la même fonction ?

Non, en général elles sont différentes.

Quelle est la formule de la dérivée d'une fonction composée vu ?

La drive9e est v'(u(x)) fois u'(x).

Quelles tapes suivent pour driver une fonction compose9e ?

On identifie u et v, calcule u' et v', puis applique la formule de la drive9e compose9e.

Quelle est la drive9e de f(x)=e^{x^2+1} avec u(x)=x^2+1 ?

f'(x) = 2x e^{x^2+1}.

Quelle est la dérivée de (u(x))^n pour n entier non nul ?

C'est nu'(x)(u(x))^{n-1}.

Quelle est la dérivée de e^{u(x)} ?

C'est u'(x)e^{u(x)}.

Quelle est la dérivée de f(x)=√(3x^2+4x-1) ?

C'est (6x+4)/(2√(3x^2+4x-1)).

Quelle est la dérivée de g(x)=(2x^2+3x-3)^4 ?

C'est 4(4x+3)(2x^2+3x-3)^3.

Quelles étapes comprend l'étude complète d'une fonction composée ?

Déterminer limites, dérivée, signe dérivée, tableau de variations, courbe.

Quelle est la dérivée de f(x)=xe^{-x^2/2} ?

f'(x) = (1 - x^2/2)e^{-x^2/2}.

Quelle est la limite de f(x)=xe^{-x^2/2} en -∞ ?

La limite est -∞.

Sur quel intervalle la dérivée de f(x)=xe^{-x^2/2} est-elle positive ?

Elle est positive sur ]-∞; √2].

Sur quel intervalle la dérivée de f(x)=xe^{-x^2/2} est-elle négative ?

Elle est négative sur [√2; +∞[.

Où f(x)=xe^{-x^2/2} atteint-elle son maximum ?

En x = √2.

Quelle est la valeur maximale de f(x)=xe^{-x^2/2} ?

La valeur maximale est √2/e.

Qu'impose la condition f'(x)≥0 sur un intervalle pour une fonction dérivable ?

La fonction est croissante sur cet intervalle.