Flashcard: Fonction exponentielle et ses propriétés — 16 carte

Fonction exponentielle — définition ?

Fonction dérivable sur R, vérifiant exp'(x)=exp(x) et exp(0)=1.

Histoire de l’exponentielle — origine ?

Problème d’intérêts composés et puissances fractionnaires au Moyen Âge.

Nombre e — valeur ?

Limite d’intérêt composé, environ 2,718.

Équation différentielle — croissance bactérienne ?

Modèle N'(t)=kN(t), avec croissance proportionnelle.

Règle affine — dérivée ?

f'(x)=a×u'(ax+b) pour u composée affine.

Définition exponentielle — propriété clé ?

f'=f et f(0)=1, unique fonction sur R.

Signe de exp(x) — pour tout x ?

Toujours strictement positif, >0.

Dérivée de exp(u(x)) — formule ?

u'(x)×exp(u(x)).

Variation de exp(x) — selon x ?

Croissante sur R, car exp'(x)=exp(x)>0.

Relation exp(a+b) — formule ?

exp(a+b)=exp(a)×exp(b).

Exponentielle — propriété d’injectivité ?

exp(a)=exp(b) implique a=b.

Signe de exp(x) — pour x négatif ?

Toujours positif, >0.

Variation de ekx — si k>0 ?

Croissante, car dérivée positive.

Variation de ekx — si k<0 ?

Décroissante, car dérivée négative.

Intérêt composé — limite ?

e, environ 2,718, quand la fréquence tend vers l’infini.

Dérivée de exp(u(x)) — formule ?

u'(x)×exp(u(x)).