Quiz: Inégalité de Bienaymé-Tchebychev et applications — 8 domande

1. Quelle inégalité borne la probabilité qu’une variable aléatoire s’écarte de son espérance d’au moins δ ?

A. P(|X-E(X)|≤δ) ≤ δ²/V(X)

B. P(X≥δ) ≤ E(X)/V(X)

C. P(|X-E(X)|≥δ) = V(X)·δ²

D. P(|X-E(X)|≥δ) ≤ V(X)/δ²

Answer: (D)

Spiegazione

L’inégalité de Bienaymé-Tchebychev donne directement une borne supérieure pour la probabilité d’un écart d’au moins δ : elle vaut V(X)/δ². Les autres propositions inversent la relation ou utilisent des expressions incorrectes.

2. Que devient le majorant de Bienaymé-Tchebychev lorsque le seuil d’écart δ augmente ?

A. Il diminue, car δ apparaît au carré au dénominateur

B. Il devient nul dès que δ est positif

C. Il reste constant, car seule la variance intervient

D. Il augmente, car δ rend l’écart plus visible

Answer: (A)

Spiegazione

Comme la borne est V(X)/δ², une augmentation de δ fait baisser le majorant. Cela traduit que les grands écarts à l’espérance sont moins probables.

3. Que représente surtout l’écart-type σ dans l’interprétation usuelle de la dispersion d’une variable aléatoire ?

A. La valeur maximale possible de la variable

B. La moyenne des valeurs observées

C. Un ordre de grandeur typique des écarts à l’espérance

D. La probabilité exacte d’un écart donné

Answer: (C)

Spiegazione

L’écart-type sert de repère pour apprécier la taille habituelle des écarts à l’espérance : les écarts fréquents sont souvent du même ordre de grandeur que σ. Il ne donne pas une probabilité exacte.

4. Quel lien conceptuel relie l’écart-type à l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev ?

A. L’inégalité remplace l’écart-type par la moyenne

B. L’inégalité formalise l’idée que les grands écarts deviennent moins probables

C. L’écart-type mesure directement une probabilité

D. L’inégalité impose que la variable soit centrée sur zéro

Answer: (B)

Spiegazione

L’écart-type fournit une intuition sur la dispersion, et Bienaymé-Tchebychev la traduit en borne probabiliste. La formule ne remplace pas σ par la moyenne et n’exige pas que la variable soit centrée sur zéro.

5. Dans l’exemple, comment est définie la moyenne d’échantillon Π ?

A. Π=(X1+⋯+X10)/10

B. Π=X1+X2+⋯+X10

C. Π=X10/10

D. Π=(X1+⋯+X20)/20

Answer: (A)

Spiegazione

La moyenne d’échantillon est bien la somme des dix variables divisée par 10. Les autres expressions ne correspondent pas à la définition donnée.

6. Quelle hypothèse est faite sur les variables X1, …, X10 dans l’exemple ?

A. Elles sont indépendantes et suivent la même loi binomiale

B. Elles sont nécessairement normales

C. Elles sont toutes identiques, mais dépendantes

D. Elles suivent des lois différentes avec la même espérance

Answer: (A)

Spiegazione

L’exemple suppose que les dix variables sont indépendantes et de même loi binomiale. Ni la normalité ni des lois différentes ne sont imposées.

7. À quoi est équivalent l’encadrement 10,3 < Π < 14,3 lorsque E(Π)=12,3 ?

A. À |Π-E(Π)|>2

B. À |Π|<2

C. À |Π-E(Π)|<2

D. À |Π-10,3|<14,3

Answer: (C)

Spiegazione

Comme 10,3 et 14,3 sont à 2 unités de 12,3, l’intervalle se reformule en un écart strictement inférieur à 2 autour de l’espérance. Ce n’est donc pas une inégalité de type supérieur à 2.

8. Quelle borne inférieure obtient-on pour P(10,3 < Π < 14,3) avec V(Π)=0,47355 et δ=2 ?

A. Environ 0,47

B. Environ 0,95

C. Environ 0,88

D. Environ 0,12

Answer: (C)

Spiegazione

On applique le complément de Bienaymé-Tchebychev : P(|Π-E(Π)|<2) ≥ 1 - 0,47355/4 ≈ 0,88. Cette valeur est donc bien la borne inférieure cherchée.