Scheda di revisione: Introduction à la dérivation et à la tangente

📋 Plan du Cours

1. Nombre dérivé et taux de variation
2. Dérivabilité en un point
3. Tangent à une courbe
4. Équation de la tangente
5. Fonction dérivée
6. Dérivées des fonctions usuelles
7. Opérations sur les dérivées
8. Méthodes et formules essentielles

📖 1. Nombre dérivé et taux de variation

🔑 Notions clés & Définitions

• Taux de variation : Le taux de variation de f entre a et a + h est le quotient (f(a + h) − f(a)) / h.
• Nombre dérivé : Le nombre dérivé de f en a est la limite, si elle existe, du taux de variation quand h tend vers 0.
• Limite h → 0 : Calculer f'(a) revient à étudier la limite de (f(a + h) − f(a)) / h quand h devient proche de 0.
• h → 0+ : L’écriture h → 0+ signifie que h tend vers 0 en restant strictement positif.
• h → 0− : L’écriture h → 0− signifie que h tend vers 0 en restant strictement négatif.

📝 Points essentiels

• Le taux de variation est défini pour h ≠ 0 tel que a + h ∈ I, puis τ(h) = (f(a + h) − f(a)) / h.
• Si lim(h→0) τ(h) existe et vaut un réel, f est dérivable en a et ce réel est f'(a).
• Pour une fonction affine f(x)=mx+p, on obtient τ(h)=m pour tout h ≠ 0, donc f'(a)=m partout.
• Pour f(x)=x² et a=0, on a τ(h)=h et donc lim(h→0) τ(h)=0, ainsi f'(0)=0.
• Pour g(x)=|x| en a=0, les limites de τ(h) valent 1 par h→0+ et −1 par h→0−, donc g n’est pas dérivable en 0.

💡 Astuce mémo

Pense à la pente: τ(h) est la pente de la corde (A,H), et f'(a) est la pente limite quand H “colle” à A.

📖 2. Dérivabilité en un point

🔑 Notions clés & Définitions

• Dérivable en a : Une fonction est dérivable en a si le taux de variation admet une limite réelle quand h tend vers 0.
• Non-dérivabilité : Une fonction n’est pas dérivable en a si la limite du taux de variation n’est pas une valeur réelle (elle n’existe pas ou diverge).
• Coefficient directeur : Le coefficient directeur de la droite passant par A et H est τ(h), donc il code la variation locale de f.
• Valeur de f'(a) : Le nombre dérivé f'(a) est la valeur réelle vers laquelle τ(h) converge lorsque h→0.

📝 Points essentiels

• La dérivabilité en a dépend du comportement de τ(h) pour h proches de 0, pas de la valeur de τ(h) pour un seul h.
• Si les limites par h→0+ et h→0− sont différentes, alors f n’est pas dérivable en a.
• Si τ(h) converge vers 0 quand h→0, alors la pente limite est nulle et f'(a)=0.
• Pour g(x)=|x| en 0, l’existence de deux limites distinctes de τ(h) empêche toute dérivée en 0.
• Pour une fonction affine, la limite du taux de variation est constante (m), donc la dérivée existe partout.

💡 Astuce mémo

Dérivable = “une seule pente limite”: si les pentes limites à gauche et à droite diffèrent, c’est non.

📖 3. Tangent à une courbe

🔑 Notions clés & Définitions

• Tangente : La tangente à la courbe Cf en x=a est la droite passant par A(a;f(a)) dont la pente est f'(a).
• Droite (AH) : La droite (AH) est la sécante passant par A et par H quand H se rapproche de A.
• Position limite : La tangente est la position limite de (AH) lorsque h→0, donc H tend vers A.
• Tangente horizontale : Si f'(a)=0, la tangente au point d’abscisse a est parallèle à l’axe des abscisses, donc horizontale.

📝 Points essentiels

• Si f est dérivable en a, la tangente au point A a pour coefficient directeur f'(a).
• La tangente est la limite de la droite (AH) quand H se rapproche indéfiniment de A, ce qui correspond à h→0.
• La tangente passe toujours par le point A(a;f(a)).
• Si f'(a)=0, la tangente est horizontale car son coefficient directeur est nul.
• Sur l’exemple graphique où f est dérivable en 3, la pente lue donne f'(3)=2 pour la tangente TA au point d’abscisse 3.

💡 Astuce mémo

Tangente = droite par A avec pente “pente limite”: f'(a).

📖 4. Équation de la tangente

🔑 Notions clés & Définitions

• Équation réduite : L’équation réduite d’une tangente s’écrit sous la forme y = f'(a)(x − a) + f(a).
• Point d’abscisse a : Le point de tangence est A(a;f(a)), utilisé pour fixer le terme constant de la droite.
• Équation cartésienne : Une droite peut aussi s’écrire sous la forme ax + by + c = 0.
• Unicité de la pente : La valeur de f'(a) est unique, ce qui impose l’unicité de la tangente en A.

📝 Points essentiels

• Si f est dérivable en a, alors l’équation réduite de la tangente en a est y = f'(a)(x − a) + f(a).
• La tangente en A est unique car le nombre dérivé f'(a) est unique.
• Pour trouver l’équation, on part de y = f'(a)x + p puis on impose que A(a;f(a)) vérifie la droite.
• Quand f(1)=2 et f'(1)=1/3, on obtient d’abord y = (1/3)(x−1)+2 puis y = (1/3)x + 5/3.
• Avec x=0 dans y = 2x − 2, on trouve le point d’intersection avec l’axe des ordonnées au niveau y = −2.

💡 Astuce mémo

Pense à la forme “pente × (x−a) + valeur en a”: y = f'(a)(x−a)+f(a).

📖 5. Fonction dérivée

🔑 Notions clés & Définitions

• Dérivable sur un intervalle : Une fonction est dérivable sur I si elle est dérivable en tout réel a de I.
• Fonction dérivée : La fonction dérivée associe à chaque x de l’intervalle le nombre réel f'(x).
• Notation f' : La dérivée de f est notée f', ce qui distingue la fonction d’origine et sa dérivée.
• Coefficient directeur de tangente : Le nombre dérivé f'(a) est la pente de la tangente au point d’abscisse a.

📝 Points essentiels

• La fonction dérivée f' est définie sur l’ensemble des réels où f est dérivable, noté Df'.
• Si f est dérivable en chaque point d’un intervalle I, alors f' existe pour tout x dans I.
• Les notations permettent aussi d’interpréter f'(x) comme une dérivée par rapport à x, notée dy/dx quand y=f(x).
• La valeur de f'(a) permet de retrouver la tangente en a car elle fixe son coefficient directeur.
• Le tableau des dérivées de fonctions usuelles sert à déterminer f'(x) sans refaire la limite à chaque fois.

💡 Astuce mémo

f' n’est pas une valeur: c’est une nouvelle fonction qui donne, pour chaque x, la pente de la tangente.

📖 6. Dérivées des fonctions usuelles

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction constante : Pour f(x)=k, la dérivée vaut 0 sur tout R.
• Fonction affine : Pour f(x)=mx+p, la dérivée vaut m sur tout R.
• Puissance xⁿ : Pour f(x)=xⁿ avec n entier non nul, la dérivée suit la règle nxⁿ⁻¹.
• Inverse 1/x : Pour f(x)=1/x, la dérivée vaut −1/x² sur R privé de 0.
• Racine carrée √x : Pour f(x)=√x, la dérivée vaut 1/(2√x) sur l’intervalle où √x est dérivable.

📝 Points essentiels

• Pour f(x)=x², on obtient f'(x)=2x sur R et la démonstration passe par le développement de (a+h)²−a².
• Pour f(x)=xⁿ avec n∈N*, la dérivée est nxⁿ⁻¹ et l’étude de n=2 et n=3 illustre la méthode.
• Pour f(x)=1/x, l’ensemble de dérivabilité est R{0} et f'(x)=−1/x² sur cet ensemble.
• Pour f(x)=1/xⁿ avec n∈N*, l’ensemble de dérivabilité est R{0} et f'(x)=−n/x^{n+1}.
• Pour f(x)=√x, l’ensemble de dérivabilité est ]0;+∞[ et f'(x)=1/(2√x) sur cet ensemble.
• Dans l’exemple g(x)=1/x², on a g'(x)=−2/x³ pour tout x≠0.

💡 Astuce mémo

Puissance: on “descend” l’exposant: (xⁿ)' = n x^{n−1}; inverse: (x^{-1})' = −x^{-2}.

📖 7. Opérations sur les dérivées

🔑 Notions clés & Définitions

• Dérivée d’une somme : La dérivée d’une somme u+v est la somme des dérivées u' et v' quand u et v sont dérivables.
• Dérivée d’un produit : La dérivée d’un produit u·v se calcule avec la règle u'v+uv'.
• Dérivée d’un inverse : La dérivée de 1/v vaut −v'/v² lorsque v(x) ne s’annule pas sur l’intervalle considéré.
• Dérivée d’un quotient : La dérivée de u/v vaut (u'v−uv')/v² quand v ne s’annule pas sur l’intervalle.
• Composition affine : Pour f(x)=g(ax+b), on obtient f'(x)=a·g'(ax+b) sur l’ensemble des x où ax+b appartient au domaine de g'.

📝 Points essentiels

• (u+v)'=u'+v' pour tout x où u et v sont dérivables sur I.
• (k·u)'=k·u' pour toute constante k et toute fonction u dérivable.
• (u·v)'=u'·v+u·v' donne une somme de deux termes où chaque dérivée apparaît une fois.
• (1/v)'=−v'/v² impose l’condition v(x)≠0 sur I.
• (u/v)'=(u'v−uv')/v² impose la condition v(x)≠0 et combine deux produits.
• Pour f(x)=g(ax+b), la formule f'(x)=a·g'(ax+b) ne s’applique que sur J défini par ax+b∈I pour tout x∈J.

💡 Astuce mémo

Produit/quotient: “la dérivée se place une seule fois” puis on combine avec le signe adapté (quotient: u'v−uv').

📖 8. Méthodes et formules essentielles

🔑 Notions clés & Définitions

• Taux de variation pour f'(a) : On calcule parfois f'(a) à partir du quotient (f(a+h)−f(a))/h puis de sa limite quand h→0.
• Tangente via équation réduite : L’équation réduite relie la tangente en a à f'(a) et à f(a) par y = f'(a)(x−a)+f(a).
• Lecture graphique de f'(a) : Sur une tangente tracée en x=a, f'(a) est le coefficient directeur de la droite.
• Choix de l’ensemble de dérivabilité : Pour une fonction construite (quotient, racine), on restreint le domaine là où les expressions sont définies et dérivables.
• Formule quotient via u/v : Quand f=u/v, on utilise (u/v)'=(u'v−uv')/v² avec les dérivées de u et v.

📝 Points essentiels

• Pour lire graphiquement f'(a), il suffit de prendre la pente de la tangente au point d’abscisse a ou de calculer (yB−yA)/(xB−xA) avec la tangente (AB).
• Pour la fonction f(x)=1/x, la tangente au point d’abscisse 2 a pour pente f'(2) égale au coefficient directeur de la droite passant par A(2;1/2) et B(4;0).
• Dans l’exercice sur f(x)=−(1/3)x+1, on calcule τ(h)=(f(3+h)−f(3))/h et on trouve lim(h→0) τ(h)=−1/3.
• Pour f(x)=x^3−x^2+x−1, le calcul de f'(1) passe par le taux de variation en posant h≠0 puis en évaluant la limite quand h→0.
• Pour f(x)=√x/(x+1), l’ensemble de dérivabilité est ]0;+∞[ car la racine est dérivable uniquement sur ]0;+∞[ et le dénominateur s’annule en −1.
• Pour f(x)=√x/(x+1), on obtient f'(x)=(1−x)/(2√x(x+1)^2) pour tout x>0.

💡 Astuce mémo

Workflow: (1) domaine, (2) taux ou formule (somme/produit/quotient/composée), (3) puis tangente via y=f'(a)(x−a)+f(a).

📊 Tableaux de synthèse

Dérivées de fonctions de référence

f(x)	Ensemble Df'	f'(x)
k	R	0
mx+p	R	m
x^n (n∈N*)	R	nx^{n−1}
1/x	R{0}	−1/x²

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre τ(h) et f'(a: τ(h) dépend de h, alors que f'(a) est la limite quand h→0.
2. Penser que deux limites de τ(h) suffisent à conclure la dérivabilité sans vérifier qu’elles sont la même valeur réelle.
3. Oublier la condition de domaine pour les formules du quotient et de l’inverse, qui nécessitent un dénominateur non nul.
4. Lire la tangente graphique sans prendre le coefficient directeur: une tangente horizontale implique f'(a)=0.
5. Appliquer y=f'(a)(x−a)+f(a) en remplaçant mal f(a) au bon point A(a;f(a)).
6. Pour √x/(x+1), croire que l’ensemble de dérivabilité inclut x=0 alors que √x n’est pas dérivable en 0.

✅ Checklist Examen

1. Savoir calculer le taux de variation τ(h)=(f(a+h)−f(a))/h pour h≠0 avec a+h dans le domaine.
2. Savoir décider si f est dérivable en a en étudiant lim(h→0)τ(h) et en donnant f'(a) si la limite est réelle.
3. Savoir expliquer l’échec de dérivabilité via des limites différentes pour h→0+ et h→0−.
4. Savoir associer f'(a) au coefficient directeur de la tangente et relier la tangente à la position limite des sécantes.
5. Savoir écrire l’équation réduite de la tangente y=f'(a)(x−a)+f(a) et en déduire une équation cartésienne si besoin.
6. Savoir utiliser les dérivées usuelles: constante, affine, x^n, 1/x, 1/x^n, √x (avec les bons ensembles de dérivabilité).
7. Savoir appliquer les règles de dérivation: somme, produit par une constante, produit, inverse, quotient, et composition affine g(ax+b).
8. Savoir déterminer l’ensemble de dérivabilité d’une fonction construite (par exemple quotient ou √x) avant de donner f'(x).
9. Savoir calculer f'(a) à partir d’une tangente tracée en lisant le coefficient directeur ou en utilisant (yB−yA)/(xB−xA).
10. Savoir résoudre un problème complet de tangente: calcul de f'(a), écriture de la tangente, puis lecture d’un point d’intersection.