Flashcard: Introduction aux équations différentielles — 18 carte

Équation différentielle — définition ?

Relation reliant une fonction à ses dérivées.

Solution d’une équation — rôle ?

Fonction vérifiant l’équation pour tous les points.

Trajectoire — représentation ?

Courbe illustrant l’évolution d’une solution.

Solution homogène — quand ?

Lorsque le second membre est nul.

Solution particulière — quand ?

Solution spécifique avec second membre non nul.

Solution générale — composition ?

Somme d’une particulière et de l’homogène.

Équation linéaire — forme ?

$a_n y^{(n)} + ext{...} + a_0 y = g$.

Ordre d’une équation — définition ?

Plus haut degré de dérivée présente.

Équation d’ordre 1 — forme ?

$y′ = f(x, y)$ ou normalisée $y′ + ay = h(x)$.

Solution de y′ + ay = 0 — forme ?

$λe^{-ax}$, avec λ ∈ R.

Conditions initiales — rôle ?

Déterminent une solution unique.

Équation d’ordre 2 — forme ?

$y′′ + ay′ + by = 0$.

Équation caractéristique — rôle ?

Détermine la forme de la solution générale.

Discriminant — signe ?

Indique la nature des racines de l’équation caractéristique.

Solutions racines réelles — forme ?

Combinaison de deux exponentielles.

Solutions racines complexes — forme ?

Exponentielle avec sinus et cosinus.

Conditions initiales pour 2e ordre — exemples ?

$y(x_0)=y_0$, $y′(x_0)=v_0$.

Application en économie — exemple ?

Modélisation de l’évolution du capital ou de la croissance.