Flashcard: Introduction aux équations différentielles et solutions fondamentales — 22 carte

Fonction exponentielle — définition ?

Fonction $f(x) = e^x$ dont la dérivée est égale à elle-même.

Équation différentielle — rôle ?

Relie une fonction à ses dérivées selon une relation donnée.

Ordre d'une équation — définition ?

Plus haut degré de dérivée dans l’équation.

Solution générale — description ?

Famille de toutes les solutions, dépendant de constantes arbitraires.

Solution particulière — rôle ?

Solution spécifique vérifiant l’équation et une condition initiale.

Équations linéaires — caractéristique ?

Forme où la fonction et ses dérivées apparaissent linéairement.

Équations homogènes — définition ?

Équations où le terme constant ou non linéaire est nul.

Conditions initiales — exemple ?

Valeur de y(x) en un point, y(x0) = y0.

Méthodes de résolution — exemple ?

Vérification, intégration, formes particulières.

Équations du premier ordre — exemple ?

y′ = ay + b, résolution par exponentielle.

Équations du second ordre — exemple ?

y′′ + ω² y = 0, solutions trigonométriques.

Ordre — comment déterminer ?

Regarde la dérivée de plus haut degré dans l’équation.

Solution générale — dépendance ?

Constantes arbitraires, représentant toutes solutions.

Solution particulière — obtenue comment ?

En fixant des constantes dans la famille de solutions.

Solutions exponentielles — famille ?

$y(x) = C e^{ax}$, pour y′=ay.

Équation homogène — solution ?

$y(x) = C e^{ax}$, avec a constant.

Équation du premier ordre — forme ?

y′ = f(x,y), souvent linéaire ou séparée.

Équation du second ordre — forme ?

$a(x) y'' + b(x) y' + c(x) y=0$.

Famille solutions — dépendance ?

De constantes arbitraires, couvrant toutes solutions.

Vérification — étape clé ?

Substituer la solution candidate dans l’équation.

Solution particulière — rôle dans résolution ?

Partie spécifique ajoutée à la solution homogène.

Famille de solutions — caractéristique ?

Dépend de constantes, représentant toutes solutions possibles.