Scheda di revisione: Introduction aux nombres et fonctions fondamentales

📋 Plan du Cours

1. Conventions et notations standards
2. Ensembles, applications et notations
3. Fonctions et application sign
4. Polices de caractères et alphabet grec
5. Rappels algébriques et factorisation
6. Équations, inéquations et valeurs absolues
7. Limites et dérivabilité des fonctions
8. Systèmes linéaires et méthode du pivot
9. Sommes, produits et changements d’indice
10. Partie entière et partie fractionnaire
11. Langage logique et quantificateurs
12. Nombres complexes : module, argument et équations

📖 1. Conventions et notations standards

🔑 Notions clés & Définitions

• Ensembles N, Z, Q, R, C : Ensemble de référence : N, Z, Q, R et C désignent respectivement les entiers naturels, relatifs, rationnels, réels et complexes.
• Corps K : Corps générique : K désigne l’un des corps Q, R ou C, avec $K\in\{Q,R,C\}$.
• Intervalle d’entiers [n,p]∩N : Ensemble borné d’entiers : $\llbracket n,p\rrbracket$ désigne $[n,p]\cap N$ pour des entiers $n\le p$.
• Ensemble d’applications F^E : Espace des fonctions : pour des ensembles E et F, $F^E$ (ou $F(E,F)$) est l’ensemble des applications de E vers F.
• Somme indicée $a+\sum_{i\in I} a_iE_i$ : Ensemble somme : $a+\sum_{i\in I} a_iE_i$ regroupe les valeurs $a+\sum_{i\in I} a_i z_i$ avec $z_i\in E_i$ pour tout i.

📝 Points essentiels

• Les symboles N, Z, Q, R, C sont utilisés dans cet ordre pour les ensembles usuels.
• On note $K$ un corps parmi $Q$, $R$ ou $C$, donc $K\in\{Q,R,C\}$.
• Pour $n\le p$, on a $\llbracket n,p\rrbracket=[n,p]\cap N$.
• On autorise aussi l’écriture $\{n,\dots,p\}$ pour désigner le même ensemble d’entiers bornés.
• Si $n>1$, alors $N^n$ désigne $\llbracket 1,n\rrbracket$, c’est-à-dire les entiers de 1 à n.
• Exemples d’ensembles obtenus par la somme indicée : $2\mathbb N$ (pairs), $1+2\mathbb Z$ (impairs), $\pi^3+\pi\mathbb Z=\{\pi^3+k\pi\}$, $\pi^2\mathbb Z=\{k\pi^2\}$, et $i\mathbb R$ (imaginaires purs).

💡 Astuce mémo

N-Z-Q-R-C : naturels→relatifs→rationnels→réels→complexes (dans l’ordre).

📖 2. Ensembles, applications et notations

🔑 Notions clés & Définitions

• Signe : Application qui associe à tout réel $x$ non nul son signe, et qui peut être prolongée en posant sign(0)=0.
• Fonction indicatrice : Fonction qui encode l’appartenance d’un élément à un sous-ensemble $Y$ d’un ensemble $X$ en renvoyant $1$ ou $0$.
• Fonction indicatrice de $\mathbb{Q}$ : Fonction indicatrice du rationnel, notée $1_{\mathbb{Q}}$, qui vaut $1$ sur $\mathbb{Q}$ et $0$ sur $\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}$.
• Symbole de Kronecker : Application $\delta: \mathbb{N}\times\mathbb{N}\to\{0,1\}$ qui vaut $1$ quand les indices sont égaux et $0$ sinon.
• Solution complexe $i$ : Lettre $i$ désignant une solution complexe de l’équation $x^2+1=0$.

📝 Points essentiels

• Pour tout réel $x\neq 0$, la valeur de $\mathrm{sign}(x)$ est $-1$ si $x<0$ et $+1$ si $x>0$, et on définit $\mathrm{sign}(0)=0$.
• Si $Y\subset X$, la fonction indicatrice de $Y$ est notée $1_{Y|X}$ (ou $1_Y$ si aucune ambiguïté) et vaut $1$ pour $x\in Y$ et $0$ sinon.
• La fonction indicatrice $1_{\mathbb{Q}}$ fournit un exemple d’application réelle définie partout et continue en aucun point.
• Le symbole de Kronecker est $\delta(i,j)=1$ si $i=j$ et $\delta(i,j)=0$ si $i\neq j$, avec notations possibles $\delta_{i,j}$ ou $\delta_{j,i}$.
• Le symbole de Kronecker sert à simplifier des sommes ou des produits et à définir certaines matrices.
• La lettre $i$ vérifie $i^2=-1$ car elle est solution de $x^2+1=0$.

💡 Astuce mémo

Signe : $+$ à droite, $-$ à gauche, et $0$ au milieu ; Kronecker : égalité →1, différence →0.

📖 3. Fonctions et application sign

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction polynomiale : Une fonction polynomiale associe à $x$ une expression construite avec des puissances de $x$ et des coefficients réels.
• Fonction rationnelle : Une fonction rationnelle est le quotient de deux polynômes, avec des valeurs de $x$ exclues quand le dénominateur s’annule.
• Fonction exponentielle : Une fonction exponentielle associe à $x$ une expression de la forme $e^{u(x)}$, définie pour tout réel $x$.
• Fonction logarithme : Le logarithme $\ln(u(x))$ n’est défini que si $u(x)>0$, ce qui impose des contraintes sur $x$.
• Valeur absolue : La valeur absolue $|u|$ mesure la distance à $0$ et vaut $u$ si $u\ge 0$ et $-u$ sinon.

📝 Points essentiels

• Développer une expression consiste à multiplier et regrouper les termes de même degré pour obtenir un polynôme réduit.
• Réduire une expression revient à simplifier en regroupant les termes semblables et en utilisant les identités algébriques.
• Pour une fonction rationnelle, le domaine exclut les $x$ qui annulent le dénominateur.
• Pour une fonction avec racine carrée, le domaine impose l’expression sous la racine $\ge 0$.
• Pour une fonction logarithme, le domaine impose l’argument strictement positif : $u(x)>0$.
• Pour résoudre des équations avec valeur absolue, on traite les cas $u(x)\ge 0$ et $u(x)<0$ (ou on utilise $|u|=a\Rightarrow u=\pm a$ quand $a\ge 0$).

💡 Astuce mémo

Cas à gérer : rationnel → dénominateur ≠ 0 ; racine → radicande ≥ 0 ; ln → argument > 0 ; valeur absolue → ± selon le signe.

📖 4. Polices de caractères et alphabet grec

🔑 Notions clés & Définitions

• Alphabet grec : L’alphabet grec regroupe des lettres utilisées en mathématiques pour nommer des paramètres, des variables et des angles.
• Paramètres réels : Les paramètres réels sont des lettres (souvent grecques) considérées comme constantes lors d’un calcul ou d’une résolution de système.
• Variables (x, y, z) : Les variables x, y, z désignent les inconnues d’un problème, notamment dans les systèmes linéaires à résoudre.
• Fonctions trigonométriques : Les fonctions trigonométriques (cos, sin, tan) décrivent des relations périodiques et apparaissent dans les expressions des exercices.

📝 Points essentiels

• Les lettres grecques apparaissent comme inconnues ou paramètres selon l’énoncé, par exemple α, β, γ dans des coefficients de cos(2α), cos(α), etc.
• Dans les systèmes linéaires, x, y, z sont les inconnues à déterminer, tandis que les autres lettres (a, b, c, α, β, γ, m) servent de données ou de paramètres.
• Les expressions cos(2θ) et cos(θ) sont utilisées ensemble dans les équations, ce qui impose de traiter θ comme un angle/paramètre dans les coefficients.
• Les notations p, ϕ, θ, u, y (selon les exercices) peuvent changer de rôle : elles peuvent être des variables d’entrée d’une fonction ou des paramètres d’un système.
• Les limites et dérivées (dans la section précédente du chapitre) utilisent aussi des lettres comme x et des constantes, donc la lecture correcte des symboles est essentielle avant de calculer.
• Comparaison : x, y, z vs α, β, γ : x,y,z sont les inconnues d’un système, alors que α,β,γ sont des paramètres fixant les coefficients trigonométriques. | x,y,z : inconnues | α,β,γ : coefficients/paramètres.

💡 Astuce mémo

α, β, γ = coefficients cosinus ; x, y, z = inconnues à résoudre.

📖 5. Rappels algébriques et factorisation

🔑 Notions clés & Définitions

• Système de Cramer : Un système de Cramer est un système linéaire dont la résolution par déterminants est possible grâce à des déterminants non nuls.
• Méthode du pivot de Gauss : La méthode du pivot de Gauss est une technique de résolution par transformations élémentaires qui élimine progressivement les inconnues.
• Changement d’indice : Un changement d’indice est une réécriture d’une somme en remplaçant l’indice par une nouvelle variable pour simplifier le calcul.
• Partie entière : La partie entière $E(x)$ est le plus grand entier inférieur ou égal à $x$.
• Partie fractionnaire : La partie fractionnaire $\mathrm{Frac}(x)$ est la partie de $x$ après retrait de sa partie entière.

📝 Points essentiels

• Un système est de Cramer lorsque le déterminant de la matrice des coefficients est non nul, ce qui permet d’utiliser les déterminants pour obtenir l’unicité de la solution.
• Pour résoudre un système de Cramer par pivot de Gauss, on applique des opérations élémentaires pour transformer la matrice augmentée en forme échelonnée puis extraire les inconnues.
• Si le système n’est pas de Cramer, la résolution par pivot de Gauss conduit à étudier les cas possibles (solution unique, infinité, ou aucune) via le rang.
• Pour le système (S) de l’exercice 29, le paramètre $a$ influence l’existence et l’unicité des solutions, donc le pivotage doit être suivi jusqu’à conclure selon $a$.
• Dans l’exercice 31, l’unicité du polynôme de degré 2 vient du fait que trois conditions $P(a)=\alpha$, $P(b)=\beta$, $P(c)=\gamma$ fixent complètement les coefficients quand $a,b,c$ sont deux à deux distincts.
• Formules de sommes utiles : $\sum_{i=1}^n(\alpha+a_i)=n\alpha+\sum_{i=1}^n a_i$ et $\sum_{i=1}^n(a_i+b_i)=\sum_{i=1}^n a_i+\sum_{i=1}^n b_i$.

💡 Astuce mémo

Cramer = déterminant non nul ; Pivot = on transforme la matrice ; Indice = on remplace k pour faire tomber les bornes ; $E$ = plancher, $\mathrm{Frac}$ = reste.

📖 6. Équations, inéquations et valeurs absolues

🔑 Notions clés & Définitions

• Partie entière : Fonction qui associe à tout réel x le plus grand entier inférieur ou égal à x.
• Partie fractionnaire : Fonction qui associe à tout réel x la différence entre x et sa partie entière.
• Changement d’indice : Technique de réécriture d’une somme en remplaçant l’indice de sommation par une expression équivalente.
• Valeur absolue : Fonction qui mesure la distance à 0 et vérifie |x|≥0 et |x|=x ou |x|=−x selon le signe de x.

📝 Points essentiels

• Identité binomiale : pour 0≤p≤k≤n, on a (n k)(k p)=(n p)(n−p n−k).
• Somme S1 : S1=∑_{p=0}^{k} (n p)(n−p n−k).
• Somme S2 : S2=∑_{k=p}^{n} (−1)^{n−k}(n k)(k p).
• Somme Sn : avec j=k−1, on réécrit ∑_{k=1}^{n} k·2^{k} sous une somme en j pour simplifier.
• Somme Tn : ∑_{k=0}^{n} cos(2·(kπ/(2n))) se calcule en exploitant la périodicité des cosinus.
• Inégalités avec partie entière : pour tous réels x,y, E(x)+E(y)≤E(x+y)≤E(x)+E(y)+1.

💡 Astuce mémo

E(x+y) est “presque” E(x)+E(y) : ça peut déborder d’au plus 1.

📖 7. Limites et dérivabilité des fonctions

🔑 Notions clés & Définitions

• Limite d’une fonction : Notion d’analyse qui décrit la valeur vers laquelle une fonction tend quand la variable s’approche d’un point ou de l’infini.
• Dérivabilité : Propriété locale d’une fonction qui admet une dérivée en un point, c’est-à-dire une pente limite des taux d’accroissement.
• Fonction majorée : Fonction pour laquelle il existe un réel qui est supérieur ou égal à toutes ses valeurs.
• Fonction bornée : Fonction pour laquelle il existe deux réels $m$ et $M$ tels que $m\le f(x)\le M$ pour tout $x$.

📝 Points essentiels

• Une fonction majorée vérifie l’existence d’un réel $M$ tel que $\forall x\in\mathbb R,\ f(x)\le M$.
• Une fonction bornée vérifie l’existence de réels $m$ et $M$ tels que $\forall x\in\mathbb R,\ m\le f(x)\le M$.
• La paire se traduit par $\forall x\in\mathbb R,\ f(-x)=f(x)$ et l’impair par $\forall x\in\mathbb R,\ f(-x)=-f(x)$.
• « Ne s’annule jamais » se traduit par $\forall x\in\mathbb R,\ f(x)\ne 0$.
• « N’a jamais les mêmes valeurs en deux points distincts » se traduit par $\forall x_1\ne x_2,\ f(x_1)\ne f(x_2)$.
• « Atteint toutes les valeurs de $\mathbb N$ » se traduit par $\forall n\in\mathbb N,\ \exists x\in\mathbb R,\ f(x)=n$.

💡 Astuce mémo

Majorée = une seule borne au-dessus (haut), Bornée = deux bornes (haut et bas).

📖 8. Systèmes linéaires et méthode du pivot

🔑 Notions clés & Définitions

• Négation d’une assertion quantifiée : Une négation d’énoncé quantifié s’obtient en inversant les quantificateurs et en niant la propriété interne.
• Disjonction des cas : Une preuve par disjonction des cas consiste à traiter séparément toutes les situations possibles qui couvrent l’énoncé.
• Contraposée : La contraposée d’une implication échange le rôle de l’hypothèse et de la conclusion en les niant.
• Récurrence : La récurrence prouve une propriété pour tous les entiers en combinant un cas initial et un pas d’hérédité.

📝 Points essentiels

• Pour une assertion de type ∀x∈R, f(x)≤1, sa négation est ∃x∈R tel que f(x)>1.
• Pour une assertion de type f croissante, sa négation s’écrit comme l’existence de x<y avec f(x)≥f(y).
• Pour une assertion de type ∃x∈R+, f(x)≤0, sa négation devient ∀x∈R+, f(x)>0.
• Pour une assertion de type ∃x∈R tel que ∀y∈R, (x<y ⇒ f(x)>f(y)), sa négation est ∀x∈R, ∃y∈R tel que x<y et f(x)≤f(y).
• Pour une assertion de type ∀ε>0, ∃N∈N, ∀n>N, |u_n|<ε, sa négation est ∃ε>0, ∀N∈N, ∃n>N tel que |u_n|≥ε.
• Dans les preuves par récurrence, on utilise un cas initial puis une étape où P(n) entraîne P(n+1).

💡 Astuce mémo

Quantificateurs : négation = ∀↔∃ et on inverse le signe logique (≤↔>, <↔≥, etc.).

📖 9. Sommes, produits et changements d’indice

🔑 Notions clés & Définitions

• Continuité uniforme : Propriété de continuité où un même seuil ε suffit pour tous les points de l’ensemble, sans dépendre du point choisi.
• Quantificateurs : Outils logiques qui expriment des affirmations universelles ou existentielles sur des variables, comme ∀ et ∃.
• Ensemble des applications : Ensemble noté F(E,F) qui regroupe toutes les fonctions de E vers F.
• Produit cartésien : Ensemble formé des couples (x,y) tels que x appartient au premier ensemble et y au second.
• Différence symétrique : Opération sur deux parties A et B qui regroupe les éléments appartenant à exactement une des deux parties.

📝 Points essentiels

• Pour dire qu’une fonction n’est pas uniformément continue sur R, on écrit : ∃ε>0, ∀δ>0, ∃x,y∈R tels que |x−y|<δ et |f(x)−f(y)|≥ε.
• Sur [1,+∞[, la fonction f(x)=1/x est uniformément continue car elle est continue sur un intervalle fermé et borné à gauche, et sa variation devient contrôlable quand x→+∞.
• Sur ]0,+∞[, la fonction f(x)=ln(x) n’est pas uniformément continue car elle varie de façon non contrôlée près de 0.
• Sur [0,+∞[, la fonction f(x)=√x est uniformément continue car sa pente se stabilise et les différences peuvent être bornées par une même relation pour tout x≥0.
• Pour l’ensemble des couples rationnels dont la somme est nulle, on décrit : {(p,q)∈Q×Q | p+q=0}.
• Pour l’ensemble des réels dont la racine carrée est rationnelle, on décrit : {x∈R | ∃r∈Q, r^2=x}.

💡 Astuce mémo

ε-δ sans fin : si tu peux toujours trouver x,y proches mais avec une différence ≥ε, alors pas de continuité uniforme.

📖 10. Partie entière et partie fractionnaire

🔑 Notions clés & Définitions

• Partie entière : La partie entière d’un réel est l’entier relatif le plus grand qui ne dépasse pas ce réel.
• Partie fractionnaire : La partie fractionnaire d’un réel est la différence entre le réel et sa partie entière, donc un réel dans [0,1[.
• Encadrement par la partie entière : La partie entière permet d’encadrer un réel entre deux entiers consécutifs, avec l’entier inférieur égal à la partie entière.
• Décomposition d’un réel : Tout réel se décompose de façon unique en somme de sa partie entière et de sa partie fractionnaire.

📝 Points essentiels

• Pour tout réel $x$, on a $\lfloor x\rfloor \le x < \lfloor x\rfloor +1$.
• Pour tout réel $x$, la partie fractionnaire vaut $\{x\}=x-\lfloor x\rfloor$ et vérifie $0\le \{x\}<1$.
• La décomposition $x=\lfloor x\rfloor+\{x\}$ est unique.
• Si $x$ est un entier, alors $\{x\}=0$ et $\lfloor x\rfloor=x$.
• Si $x<0$, la partie entière reste l’entier inférieur (plus petit) qui vérifie $\lfloor x\rfloor\le x$, ce qui peut donner une partie fractionnaire non nulle (ex. $x=-1{,}3$).
• Comparaison : $\lfloor x\rfloor$ est un entier (fonction “inférieur”), tandis que $\{x\}$ est un réel dans $[0,1[$ (reste “fractionnel”).

💡 Astuce mémo

Pense à la “marche” : $\lfloor x\rfloor$ est la marche juste en dessous, et $\{x\}$ est la hauteur restante jusqu’à la marche suivante.

📖 11. Langage logique et quantificateurs

🔑 Notions clés & Définitions

• Quantificateur universel : Le quantificateur universel affirme que la propriété est vraie pour tous les éléments d’un ensemble donné.
• Quantificateur existentiel : Le quantificateur existentiel affirme qu’il existe au moins un élément pour lequel la propriété est vraie.
• Implication logique : L’implication relie deux propositions et n’est fausse que si la première est vraie et la seconde est fausse.
• Ensemble des solutions : L’ensemble des solutions regroupe tous les objets qui rendent une assertion ou une équation vraie.

📝 Points essentiels

• Pour évaluer une assertion du type ∀x∈R,∃(y,z)∈R×C, il faut construire (ou prouver l’existence de) des valeurs dépendant de x qui satisfont l’égalité demandée.
• Pour une assertion du type ∃z∈C,∀x∈R, l’existence de z doit rendre la condition vraie pour chaque x simultanément.
• Dans une implication (A⇒B), si A est fausse alors l’implication est vraie quel que soit B.
• Dans l’exercice 5, l’assertion 1 est vraie car pour tout x réel on peut choisir y=0 et z=x (avec z∈C) pour obtenir z=x+yi.
• Dans l’exercice 5, l’assertion 2 est fausse car une valeur fixe de Im(z) ne peut pas être égale à tous les réels x à la fois.
• Dans l’exercice 5, l’assertion 5 est fausse car |z| n’est pas borné sur C : pour tout d réel on peut prendre z de module >d.

💡 Astuce mémo

∀ = pour tous, ∃ = pour au moins un ; A⇒B faux seulement quand A vrai et B faux.

📖 12. Nombres complexes : module, argument et équations

🔑 Notions clés & Définitions

• Module d’un nombre complexe : Le module d’un nombre complexe est la distance du point image à l’origine dans le plan complexe, donc une valeur réelle positive.
• Argument d’un nombre complexe : L’argument d’un nombre complexe est un angle qui repère la direction du point image depuis l’origine, à $2\pi$ près.
• Forme exponentielle : La forme exponentielle d’un complexe s’écrit $\rho e^{i\theta}$, reliant module $\rho$ et argument $\theta$ via la formule d’Euler.
• Équation complexe : Une équation complexe est une égalité où l’inconnue est un nombre complexe, souvent résolue en utilisant la forme exponentielle ou la factorisation.

📝 Points essentiels

• Pour tout $a\in\mathbb R$, on a $e^{ia}=\cos a+i\sin a$ et donc $e^{2ia}=\cos(2a)+i\sin(2a)$, ce qui permet d’obtenir $\cos(2x)$ et $\sin(2x)$ par développement.
• Les formules de double/triple/quadruple angle se déduisent de $\Re(e^{ikx})$ et $\Im(e^{ikx})$ pour $k\in\{3,4,5\}$ en développant $e^{ikx}$.
• Si $a$ et $b$ ont pour modules $1$ et vérifient $ab\neq -1$ (condition source : $ab\neq -1$ et $ab\in\mathbb C$), alors $\dfrac{a+b}{1+ab}$ appartient à $\mathbb R$.
• Il n’existe pas de complexe $z$ tel que $z$, $\dfrac{1}{z}$ et $z-1$ aient tous le même module, car les contraintes sur les distances à l’origine sont incompatibles.
• Pour $P(z)=z^4-1$, on factorise $P(z)=(z-1)(z+1)(z^2+1)$, ce qui donne les racines $4$-ièmes de $1$.
• Les solutions de $\left(\dfrac{z+1}{z-1}\right)^4=1$ se déduisent en posant $\dfrac{z+1}{z-1}=\omega$ avec $\omega^4=1$, puis en résolvant $z=\dfrac{1+\omega}{1-\omega}$ (avec les valeurs de $\omega$ issues de la factor.

💡 Astuce mémo

Euler : $e^{ix}$ = direction (argument) + longueur (module) → $\cos$ = partie réelle, $\sin$ = partie imaginaire.

📊 Tableaux de synthèse

Inconnues vs paramètres (polices/lettres)

Type	Exemples	Rôle en calcul
Inconnues	x, y, z	à déterminer dans un système
Paramètres/coefficients	α, β, γ, a, b, c, m	fixent les coefficients (ex. cos(2α), cos(α))

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre Nn avec [1,n] : dans le cours, si n>1 alors N^n désigne l’ensemble des entiers de 1 à n, pas N×…×N.
2. Mélanger la notation de l’intervalle : ⟦n,p⟧ signifie [n,p]∩N (et non un simple segment réel).
3. Oublier les domaines : pour une fonction rationnelle, on exclut les x qui annulent le dénominateur ; pour ln, on impose u(x)>0.
4. Se tromper sur la valeur absolue : résoudre |u|=a impose des cas u≥0 et u<0 (ou u=±a quand a≥0), pas une seule équation.
5. Inverser la négation des quantificateurs : ∀ devient ∃ et on inverse la propriété interne (ex. f(x)≤1 ↔ ∃x f(x)>1).
6. Confondre majorée et bornée : majorée = une borne supérieure M ; bornée = deux bornes m et M.
7. Pour la partie entière, oublier que pour x<0, ⌊x⌋ est l’entier inférieur (plus petit) et la partie fractionnaire {x}=x-⌊x⌋ reste dans [0,1[.

✅ Checklist Examen

1. Savoir écrire et interpréter N, Z, Q, R, C et K∈{Q,R,C}, ainsi que ⟦n,p⟧=[n,p]∩N et N^n=⟦1,n⟧ (si n>1).
2. Manipuler F^E (ou F(E,F)) comme ensemble des applications, et la somme indicée a+∑_{i∈I} a_i E_i avec la définition ensembliste.
3. Construire des exemples de sommes indicées (2N, 1+2Z, π^3+πZ, π^2Z, iR) et savoir ce que cela signifie concrètement.
4. Utiliser sign(x) : sign(x)=1 si x>0, -1 si x<0, et sign(0)=0 ; savoir prolonger la définition.
5. Savoir définir et utiliser la fonction indicatrice 1_{Y|X} (ou 1_Y) et l’exemple 1_Q ; connaître la définition du symbole de Kronecker δ(i,j).
6. Savoir distinguer fonction polynomiale, rationnelle (quotient avec dénominateur non nul), exponentielle e^{u(x)}, logarithme ln(u(x)) avec u(x)>0, et valeur absolue |u|.
7. Savoir “développer” vs “réduire” une expression, et traiter les cas de domaine (rationnel, racine carrée radicande ≥0, ln argument >0, valeur absolue).
8. Lire correctement les lettres grecques et comprendre leur rôle : α,β,γ comme paramètres/coefficients (ex. dans cos(2α), cos(α)) tandis que x,y,z sont les inconnues.
9. Résoudre/raisonner avec Cramer : système de Cramer ⇔ déterminant non nul, et savoir que pivot de Gauss mène à échelons puis conclusions via rang si non-Cramer.
10. Savoir utiliser les changements d’indice et les identités de sommes données (ex. formules de sommes utiles, réécritures de S1/S2/Sn/Tn) quand le sujet le demande.
11. Maîtriser la logique des quantificateurs et implications : négation (∀↔∃ + inversion de la propriété), contraposée, disjonction des cas, récurrence.
12. Savoir traduire des phrases en langage mathématique (∀/∃, implications) et inversement, y compris pour des assertions du type “f est majorée/bornée/paire/impair/ne s’annule jamais”.
13. En analyse : savoir écrire la définition de majorée/bornée, paire/impair, et la négation de “uniformément continue” sous forme quantifiée ε-δ.
14. Savoir manipuler la partie entière et fractionnaire : encadrement ⌊x⌋≤x<⌊x⌋+1, {x}=x-⌊x⌋∈[0,1[, et unicité de la décomposition x=⌊x⌋+{x}.