Quiz: Introduction aux probabilités, géométrie et étude de fonctions — 8 domande

1. Dans une loi binomiale, quelle situation modélise le nombre de succès obtenus sur un ensemble d’épreuves ?

A. Le suivi d’une grandeur qui évolue de façon déterministe

B. La somme de probabilités d’événements incompatibles

C. Le comptage du nombre de succès sur n épreuves indépendantes identiques

D. Le classement des valeurs d’une variable continue sur un intervalle

Answer: (C)

Spiegazione

Une loi binomiale compte le nombre de succès sur un nombre fixé d’épreuves indépendantes et identiques, avec une probabilité de succès constante. Les autres propositions décrivent soit un autre type de modèle, soit une situation non probabiliste.

2. Si X désigne le nombre d’abonnés, parmi huit, ayant activé l’option « Écoute hors-ligne », quelle est la forme de P(X=0) lorsque la probabilité d’activation vaut 0,4125 ?

A. 1−0,4125^8

B. 0,4125^8

C. 8×(1−0,4125)

D. (1−0,4125)^8

Answer: (D)

Spiegazione

Avoir X=0 signifie qu’aucun des huit abonnés n’active l’option, donc on multiplie huit fois la probabilité de non-activation. On obtient ainsi (1−0,4125)^8.

3. Dans le modèle discret de population, que représente une suite comme (u_n) ?

A. La probabilité qu’un individu survive après un an

B. Une fonction continue solution d’une équation différentielle

C. Le nombre de perches-soleil à une date discrète donnée

D. La variation instantanée de la population en fonction du temps

Answer: (C)

Spiegazione

La suite (u_n) modélise une population à des instants discrets, ici à chaque 1er janvier. Elle ne représente pas une évolution continue ni une probabilité.

4. Dans le modèle continu, quelle propriété de p(t)=2e^{-t}+2 montre que la population ne s’éteint pas à long terme ?

A. p(t) devient négative pour les grandes valeurs de t

B. p(t) tend vers 2 quand t tend vers l’infini

C. p(t) est constante et égale à 4

D. p(t) tend vers 0 quand t tend vers l’infini

Answer: (B)

Spiegazione

Comme e^{-t} tend vers 0, la fonction p(t) tend vers 2 et non vers 0. La population se stabilise donc à une valeur positive au lieu de disparaître.

5. Dans un repère orthonormé de l’espace, à quoi sert principalement un vecteur normal d’un plan ?

A. À définir une droite perpendiculaire au plan

B. À écrire une équation cartésienne du plan

C. À mesurer directement l’aire du plan

D. À déterminer la longueur d’un segment sans projection

Answer: (B)

Spiegazione

Un vecteur normal permet de construire une équation cartésienne du plan, par exemple sous la forme ax+by+cz+d=0. Il n’est pas destiné à mesurer une aire.

6. Quelle méthode permet de déterminer la distance d’un point à un plan dans l’espace ?

A. Mesurer l’angle entre deux arêtes du solide

B. Calculer l’aire du triangle formé par trois points du plan

C. Additionner les coordonnées du point et du plan

D. Projeter orthogonalement le point sur le plan

Answer: (D)

Spiegazione

La distance d’un point à un plan est la longueur du segment perpendiculaire reliant le point à son projeté orthogonal sur le plan. C’est donc une question de projection orthogonale.

7. Quel critère permet de conclure qu’une fonction est convexe sur un intervalle ?

A. Sa dérivée première est positive sur l’intervalle

B. Sa dérivée seconde est négative sur l’intervalle

C. Sa courbe coupe l’axe des abscisses

D. Sa dérivée seconde est positive sur l’intervalle

Answer: (D)

Spiegazione

Une fonction est convexe lorsque sa dérivée seconde est positive sur l’intervalle considéré. À l’inverse, une dérivée seconde négative correspond à une concavité.

8. Quel rôle joue le signe de la dérivée première d’une fonction ?

A. Il permet de calculer la convexité uniquement

B. Il fixe la position de l’asymptote verticale

C. Il donne directement la valeur de la fonction

D. Il indique les variations de la fonction

Answer: (D)

Spiegazione

Le signe de f' permet de savoir si la fonction croît ou décroît. La convexité dépend, elle, du signe de la dérivée seconde.