Logarithme népérien : définition et propriétés essentielles

📋 Plan du Cours

1. Définition du logarithme népérien
2. Étude de la fonction ln
3. Propriétés algébriques de ln
4. Lien entre log et logarithme népérien
5. Dérivée et primitives de ln(u
6. Fiche mémo sur ln et ses formules

📖 1. Définition du logarithme népérien

🔑 Notions clés & Définitions

• Logarithme népérien : Le logarithme népérien de $a>0$ est le réel $x$ qui vérifie $e^x=a$, noté $\ln a$.
• Fonction logarithme népérien : La fonction $\ln$ associe à tout $a>0$ l’unique solution de $e^x=a$, donc $\ln: ]0,+\infty[\to\mathbb{R}$.
• Équation $e^x=a$ : L’équation $e^x=a$ relie l’exponentielle et le logarithme : sa solution est $x=\ln a$ pour $a>0$.
• Domaine de $\ln$ : Le logarithme népérien n’est défini que pour les réels strictement positifs, donc sur $]0,+\infty[$.

📝 Points essentiels

• Pour tout $a>0$, il existe une unique valeur réelle $x$ telle que $e^x=a$ et cette valeur est $\ln a$.
• On a l’équivalence $e^x=a \iff x=\ln a$ pour $a>0$.
• La fonction $\ln$ est définie sur $]0,+\infty[$ et à valeur dans $\mathbb{R}$.
• Exemple : si $e^x=5$ alors $x=\ln 5\approx 1{,}61$.
• Exemple : résoudre $e^x=7$ revient à calculer $x=\ln 7$.
• Exemple : résoudre $\ln(x)=4$ revient à écrire $x=e^4$.

💡 Astuce mémo

Pensez à l’inversion : $\ln$ “défait” l’exponentielle $e^x$.

📖 2. Étude de la fonction ln

🔑 Notions clés & Définitions