Quiz: Logarithme népérien : définition et propriétés essentielles — 9 questions

1. Comment définit-on le logarithme népérien d’un réel strictement positif a ?

A. C’est l’unique réel x tel que x^a = e

B. C’est le réel a tel que e^a = x

C. C’est l’unique réel x tel que  ln(x) = a

D. C’est l’unique réel x tel que e^x = a

Answer: (D)

Explanation

Le logarithme népérien de a>0 est, par définition, le réel x qui vérifie e^x=a. L’équation ln(x)=a correspond au passage inverse, qui donne x=e^a.

2. Quelle est la définition du logarithme népérien de $a>0$ ?

A. La valeur de $a$ telle que $x=rac{1}{a}$.

B. Le nombre réel $x$ tel que $a=e^x$.

C. La fonction qui associe à tout $a>0$ la solution de $e^x=a$.

D. Le nombre réel $x$ tel que $e^x=a$.

Answer: (D)

Explanation

Le logarithme népérien $ l a$ est défini comme le réel $x$ qui vérifie $e^x=a$, c'est-à-dire la solution de l'équation $e^x=a$, pour $a>0$. La réponse 0 inverse cette définition en proposant le rôle du nombre $x$, mais la bonne définition concerne la valeur $x$ en relation avec $a$.

3. Dans quel ensemble la fonction ln est-elle définie ?

A. Sur l’ensemble des entiers naturels

B. Sur l’ensemble des réels négatifs ou nuls

C. Sur l’ensemble de tous les réels

D. Sur l’ensemble des réels strictement positifs

Answer: (D)

Explanation

La fonction ln n’est définie que pour les réels strictement positifs. On écrit donc ln : ]0,+∞[ → R.

4. Quel est le rôle principal de la fonction logarithme népérien $ ext{ln}$ dans la transformation des expressions exponentielles ?

A. Elle transforme une fonction polynomiale en une fonction rationnelle.

B. Elle sert à calculer rapidement des puissances de base 10 en utilisant la propriété $10^x$.

C. Elle sert uniquement à déterminer le signe d'une expression exponentielle.

D. Elle permet d'inverser la fonction exponentielle $e^x$, en associant à chaque $a>0$ le réel $x$ tel que $e^x=a$.

Answer: (D)

Explanation

La fonction $ ext{ln}$ est utilisée pour inverser l'exponentielle $e^x$, en associant à chaque nombre positif $a$ le réel $x$ tel que $e^x=a$, ce qui est son rôle principal dans la transformation des expressions exponentielles.

5. Quelle est la dérivée de la fonction ln sur son domaine ?

A. -1/x pour x>0

B. e^x pour x>0

C. x pour tout réel

D. 1/x pour x>0

Answer: (D)

Explanation

Sur ]0,+∞[, la fonction ln est dérivable et sa dérivée vaut 1/x. La proposition -1/x est un distracteur classique lié à une mauvaise mémorisation du signe.

6. Quand a été établi le lien fondamental entre le logarithme népérien et l'exponentielle en relation avec l'équation $e^x = a$ ?

A. À la fin du XIXe siècle avec l'avancement en analyse mathématique.

B. Au début du XXe siècle avec le développement du calcul différentiel.

C. Au siècle des Lumières lors des études d'Euler.

D. Au XVIIe siècle lors des travaux de John Napier.

Answer: (D)

Explanation

Le lien entre le logarithme népérien et l'exponentielle, basé sur l'équation $e^x= a$, a été largement établi au XVIIe siècle, notamment par les travaux de John Napier qui a introduit les logarithmes. C'est à cette période que la relation fondamentale $x= ln a$ a été formalisée.

7. Quel comportement limite caractérise la courbe de y = ln x au voisinage de 0 par valeurs positives ?

A. ln x tend vers -∞ quand x tend vers 0^+

B. ln x tend vers 0 quand x tend vers 0^+

C. ln x tend vers +∞ quand x tend vers 0^+

D. ln x tend vers 1 quand x tend vers 0^+

Answer: (A)

Explanation

Quand x tend vers 0 par valeurs positives, ln x décroît sans borne et tend vers -∞. Cela explique aussi l’asymptote verticale d’équation x=0.

8. En quoi la fonction logarithme népérien $ ext{ln}$ diffère-t-elle de la fonction logarithme décimal $ ext{log}$?

A. Le logarithme népérien est défini pour tous les réels, alors que le log est défini uniquement pour les positifs.

B. Le logarithme népérien porte sur la base e, tandis que le log porte sur la base 10.

C. Le logarithme népérien est utilisé pour les puissances entières, alors que le log ne l’est pas.

D. Le log est une fonction dérivable alors que le ln ne l’est pas.

Answer: (B)

Explanation

Le logarithme népérien est basé sur la constante e et est défini pour x>0, tandis que le log est utilisé pour la base 10 et est relié au ln par une division par ln 10.

9. Qui est crédité de la formulation de la relation fondamentale liant le logarithme népérien à l'exponentielle, en établissant que $ ext{ln}(a)$ est la solution unique de $e^x = a$ pour $a > 0$ ?

A. Leonhard Euler

B. Isaac Newton

C. Gaspard-Gustave de Coriolis

D. Joseph-Louis Lagrange

Answer: (A)

Explanation

Leonhard Euler est crédité d'avoir introduit et formulé la relation fondamentale du logarithme népérien, établissant que $ ext{ln}(a)$ est la valeur de $x$ telle que $e^x=a$, pour $a > 0$. Cela a permis de lier l'exponentielle et le logarithme de façon rigoureuse.