Quiz: Théorème de Pythagore et racines carrées — 14 questions

1. Dans un triangle ABC rectangle en A, quel énoncé exprime correctement l’égalité de Pythagore ?

A. AC² = AB² + BC²

B. BC² = AB² − AC²

C. AB² = BC² + AC²

D. AB² + AC² = BC²

Answer: (D)

Explanation

Dans un triangle rectangle en A, l’hypoténuse est BC et l’égalité de Pythagore s’écrit BC² = AB² + AC². Les autres relations mélangent ou soustraient des carrés, ce qui est incorrect.

2. Quel fait correspond le mieux à l’origine de Pythagore dans l’histoire des mathématiques ?

A. Pythagore a découvert la racine carrée de 2 en utilisant un triangle de côtés 3, 4 et 5

B. Pythagore de Samos a vécu de -569 à -475 et a fondé l’école pythagoricienne à Crotone

C. Le théorème de Pythagore a été transmis uniquement par les Babyloniens environ 1000 ans après Pythagore

D. Le théorème de Pythagore a été inventé à Crotone par les Égyptiens grâce à une corde à 13 nœuds

Answer: (B)

Explanation

L’information clé est que Pythagore de Samos a vécu de -569 à -475 et a fondé l’école pythagoricienne à Crotone. Les autres propositions attribuent tort des découvertes à d’autres peuples ou à de mauvaises périodes.

3. Comment définit-on la racine carrée d’un nombre positif a dans les nombres étudiés ?

A. C’est le nombre dont le carré vaut l’opposé de a

B. C’est le plus grand nombre entier dont le carré est inférieur ou égal à a

C. C’est le nombre toujours positif dont le carré est égal à a

D. C’est le nombre dont le carré est égal à a, qu’il soit positif ou négatif

Answer: (C)

Explanation

La racine carrée de a est définie comme le nombre toujours positif dont le carré vaut a, noté √a. Une valeur négative peut avoir le même carré, mais la définition de √a vise bien la valeur positive.

4. Parmi les propositions suivantes, laquelle correspond à la liste de valeurs exactes couramment à connaître ?

A. √4 = 2, √9 = -3, √16 = 4, √25 = -5, √36 = 6

B. √4 = 2, √9 = 3, √16 = 4, √25 = 5, √36 = 6

C. √4 = 1, √9 = 2, √16 = 3, √25 = 4, √36 = 5

D. √4 = -2, √9 = 3, √16 = -4, √25 = 5, √36 = 6

Answer: (B)

Explanation

Les valeurs exactes listées incluent bien √4 = 2, √9 = 3, √16 = 4, √25 = 5 et √36 = 6. Les autres choix introduisent des signes négatifs ou des valeurs incorrectes.

5. Pourquoi peut-on dire que la racine carrée d’un nombre négatif n’existe pas dans les nombres étudiés ici ?

A. Parce que la racine carrée n’est définie que pour des nombres entiers négatifs

B. Parce que √a exige qu'a soit un multiple de 5

C. Parce que la racine carrée n’est définie que pour des nombres pairs

D. Parce que le carré d’un nombre est toujours positif

Answer: (D)

Explanation

Dans les nombres étudiés ici, √a d’un nombre négatif n’existe pas car un carré est toujours positif. L’idée confuse serait de traiter √−5 comme un nombre réel, alors que ce n’est pas le cas ici.

6. Pour encadrer √20 par deux entiers consécutifs, quelle démarche correcte conduit à l’inégalité 4 < √20 < 5 ?

A. Chercher deux entiers consécutifs dont les racines carrées donnent 20 puis comparer sans carrés

B. Chercher deux carrés consécutifs 16 et 25 puis utiliser √16 < √20 < √25

C. Calculer d’abord √20≈20/2 puis vérifier l’encadrement

D. Encadrer directement 20 entre deux entiers consécutifs 4 et 5 puis en déduire √20

Answer: (B)

Explanation

On utilise 16 < 20 < 25, puis on prend la racine carrée : √16 < √20 < √25, soit 4 < √20 < 5. L’erreur classique consiste à encadrer mal le nombre sous la racine.

7. Si x² = a avec a positif, quelle valeur correspond à x dans ce cadre ?

A. x est égal à a

B. La valeur positive est x = √a

C. x est obligatoirement un entier naturel

D. La valeur est x = −√a

Answer: (B)

Explanation

Quand x² = a avec a positif, la valeur positive est x = √a. Une confusion fréquente est de penser que √a correspondrait à une valeur négative.

8. Quelle affirmation distingue correctement une valeur exacte d’une valeur approchée ?

A. 10,8 est une valeur exacte de √117 puisque 10,8² est égal à 117

B. √117 et 10,8 représentent la même chose exactement

C. Une valeur exacte doit toujours être écrite sous forme décimale finie

D. √117 est une valeur exacte différente de l’approximation 10,8 due à un arrondi

Answer: (D)

Explanation

Une valeur exacte comme √117 est distincte d’un nombre approché comme 10,8, résultat d’un arrondi. Les autres choix confondent exact et arrondi ou prétendent une égalité exacte qui n’est pas garantie.

9. Pour trouver une racine carrée exacte, que cherche-t-on d’abord ?

A. Le nombre dont le carré est égal au nombre donné sans imposer qu’il soit positif

B. Le nombre positif dont le carré est égal au nombre donné

C. Le nombre négatif dont le carré est égal au nombre donné

D. La valeur décimale de la racine, même si une forme exacte existe

Answer: (B)

Explanation

Une racine carrée exacte correspond au nombre positif dont le carré vaut le nombre de départ. Cela distingue la racine carrée positive des solutions négatives possibles.

10. Lorsqu’une racine carrée ne donne pas de valeur décimale exacte, comment faut-il l’utiliser ?

A. On arrondit directement la racine à l’unité la plus proche

B. On peut remplacer la valeur exacte uniquement si elle est impossible à conserver sous forme de racine

C. On conserve la valeur sous forme de racine si elle existe, et on utilise la calculatrice seulement pour une valeur approchée

D. On supprime complètement la partie racine et on garde seulement le résultat décimal

Answer: (C)

Explanation

Quand une valeur exacte peut être conservée sous forme de racine, on ne la remplace pas : la calculatrice sert à obtenir une valeur approchée. L’option sur le remplacement par une décimale contredit cette règle.

11. Dans quel cas peut-on utiliser la relation BC² = AB² + AC² ?

A. Si le triangle ABC possède deux côtés égaux

B. Si le triangle ABC est rectangle en A

C. Si le triangle ABC est rectangle en C

D. Si le triangle ABC est isocèle en A

Answer: (B)

Explanation

La relation de Pythagore BC² = AB² + AC² s’applique lorsque le triangle ABC est rectangle en A. Si le triangle n’est pas rectangle en A, ce lien n’est pas celui attendu.

12. Pour calculer l’hypoténuse d’un triangle rectangle, quelle démarche correspond à la méthode ?

A. Prendre directement la somme AB + AC comme longueur de l’hypoténuse

B. Choisir le plus petit côté, appliquer AB² = BC² − AC², puis prendre la racine carrée positive

C. Isoler d’abord le carré de l’autre côté, puis prendre la racine carrée négative

D. Identifier le côté opposé à l’angle droit, appliquer BC² = AB² + AC², puis prendre la racine carrée positive

Answer: (D)

Explanation

La méthode consiste à identifier le côté opposé à l’angle droit (hypoténuse), utiliser BC² = AB² + AC², puis prendre la racine carrée positive. Les autres choix mélangent l’hypoténuse et un calcul pour un côté de l’angle droit.

13. Dans le triangle ABC rectangle en A avec AB = 6 cm et AC = 9 cm, quelle est la valeur de BC au dixième de centimètre ?

A. BC ≈ 13,5 cm

B. BC ≈ 9,0 cm

C. BC ≈ 7,5 cm

D. BC ≈ 10,8 cm

Answer: (D)

Explanation

On calcule BC² = 6² + 9² = 117, puis BC = √117 ≈ 10,8 cm au dixième. Les autres valeurs ne correspondent pas à la racine de 117.

14. Pour calculer un côté de l’angle droit à partir de l’égalité de Pythagore, que fait-on en premier ?

A. On soustrait le carré de l’autre côté de l’angle droit au carré de l’hypoténuse, puis on prend la racine carrée positive

B. On additionne directement les deux côtés de l’angle droit, puis on prend la racine carrée

C. On soustrait le carré de l’hypoténuse au carré de l’autre côté, puis on prend la racine carrée négative

D. On multiplie les deux côtés de l’angle droit, puis on prend la racine carrée positive

Answer: (A)

Explanation

Pour un côté de l’angle droit, on isole son carré en soustrayant le carré de l’autre côté de celui de l’hypoténuse, puis on prend la racine carrée positive. Les options proposant une soustraction dans le mauvais sens ou une racine négative ne suivent pas cette règle.