Quiz: Maîtrise du second degré — 16 domande

1. Quelle écriture correspond à la forme développée d’un trinôme du second degré ?

A. x² + bx + c sans condition sur a

B. a(x - α)² + β

C. a(x - x1)(x - x2)

D. ax² + bx + c avec a ≠ 0

Answer: (D)

Spiegazione

La forme développée d’un trinôme du second degré est bien ax² + bx + c, avec a différent de 0. Les autres écritures correspondent à la forme canonique, à la forme factorisée ou à une expression incomplète.

2. Quelle condition garantit qu’une fonction polynôme est du second degré ?

A. Le coefficient a est non nul

B. Le coefficient de x² est nul

C. Le terme constant c est nul

D. Les coefficients b et c sont égaux

Answer: (A)

Spiegazione

Pour qu’une fonction soit du second degré, il faut que le coefficient de x² soit non nul, donc a ≠ 0. Si a = 0, l’expression n’est plus un trinôme du second degré.

3. Comment s’oriente la parabole lorsque le coefficient a est positif ?

A. Son orientation dépend de c

B. Elle devient une droite verticale

C. Elle est tournée vers le haut

D. Elle est tournée vers le bas

Answer: (C)

Spiegazione

Le signe de a détermine l’orientation de la parabole : si a > 0, elle est tournée vers le haut. Dans ce cas, son sommet est un minimum.

4. Que représente le sommet d’une parabole lorsque a est négatif ?

A. Le point le plus bas de la courbe

B. Le point le plus haut de la courbe

C. Le milieu de l’intervalle des racines

D. Le point d’intersection avec l’axe des abscisses

Answer: (B)

Spiegazione

Si a < 0, la parabole est tournée vers le bas et le sommet est donc le point le plus haut. C’est le point extrémal de la courbe.

5. Quelle est l’équation de l’axe de symétrie d’une parabole de sommet d’abscisse x_s ?

A. x = y_s

B. y = a

C. y = x_s

D. x = x_s

Answer: (D)

Spiegazione

L’axe de symétrie est une droite verticale parallèle à l’axe des ordonnées, donc son équation est x = x_s. Il passe par le sommet de la parabole.

6. Si deux points de la parabole ont la même ordonnée et des abscisses x_a et x_b, quelle est l’abscisse de l’axe de symétrie ?

A. x_s = x_a + x_b

B. x_s = (x_a + x_b) / 2

C. x_s = x_a - x_b

D. x_s = (x_a - x_b) / 2

Answer: (B)

Spiegazione

Quand deux points ont la même ordonnée, le sommet et l’axe de symétrie se trouvent au milieu de leurs abscisses. L’abscisse de l’axe est donc la moyenne (x_a + x_b) / 2.

7. Quelle écriture correspond à la forme canonique d’un trinôme du second degré ?

A. x² + c

B. a(x - x1)(x - x2)

C. ax² + bx + c

D. a(x - α)² + β

Answer: (D)

Spiegazione

La forme canonique s’écrit a(x - α)² + β. Elle permet de lire directement le sommet de la parabole.

8. Dans l’écriture a(x - α)² + β, quelles sont les coordonnées du sommet ?

A. (β ; α)

B. (a ; β)

C. (α ; β)

D. (-α ; -β)

Answer: (C)

Spiegazione

Dans la forme canonique, le sommet a pour coordonnées (α ; β). Cette écriture met immédiatement en évidence le point extrémal de la parabole.

9. Dans quel cas un trinôme admet-il une forme factorisée sur R sous la forme a(x - x1)(x - x2) ?

A. Lorsqu’il est de degré un

B. Lorsqu’il n’a aucune racine réelle

C. Lorsqu’il a deux racines réelles distinctes

D. Lorsqu’il a une seule racine double

Answer: (C)

Spiegazione

Si le trinôme a deux racines réelles distinctes x1 et x2, il s’écrit a(x - x1)(x - x2). La présence de deux zéros réels distincts permet cette factorisation.

10. Comment s’écrit la forme factorisée lorsqu’un trinôme possède une seule racine réelle x0 ?

A. a(x + x0)² + β

B. a(x - x0)(x - x1)

C. a(x - x0)²

D. ax² + bx + c

Answer: (C)

Spiegazione

Avec une racine unique, on parle de racine double et le trinôme s’écrit a(x - x0)². Les autres écritures ne traduisent pas ce cas particulier.

11. Quelle est la somme des racines x1 et x2 d’un trinôme ax² + bx + c ayant deux racines distinctes ?

A. b / c

B. -c / a

C. -b / a

D. c / a

Answer: (C)

Spiegazione

Lorsque le trinôme a deux racines distinctes, la somme des racines vaut -b/a. Cette relation relie directement les coefficients aux solutions.

12. Quel est le produit des racines x1 et x2 d’un trinôme ax² + bx + c ayant deux racines distinctes ?

A. -c / b

B. -b / a

C. c / a

D. b / a

Answer: (C)

Spiegazione

Pour deux racines distinctes, le produit des racines est c/a. C’est l’autre relation fondamentale de Viète indiquée pour ce cas.

13. Comment calcule-t-on le discriminant d’un trinôme ax² + bx + c ?

A. Δ = a² - 4bc

B. Δ = b² + 4ac

C. Δ = b² - 4ac

D. Δ = 4ac - b²

Answer: (C)

Spiegazione

Le discriminant d’un trinôme est défini par Δ = b² - 4ac. Il sert à déterminer le nombre de solutions réelles de l’équation du second degré.

14. Que peut-on conclure pour l’équation ax² + bx + c = 0 lorsque Δ > 0 ?

A. Elle a deux solutions réelles distinctes

B. Elle a toujours une racine double

C. Elle n’a aucune solution réelle

D. Elle a une seule solution réelle

Answer: (A)

Spiegazione

Si Δ > 0, l’équation du second degré admet deux solutions réelles distinctes. Elles s’écrivent avec la formule utilisant ±√Δ au numérateur.

15. Quelle forme factorisée obtient-on lorsque le discriminant d’un trinôme est strictement positif ?

A. a(x - x0)²

B. a(x² - x1x2)

C. a(x - α)² + β

D. a(x - x1)(x - x2)

Answer: (D)

Spiegazione

Lorsque Δ > 0, le trinôme se factorise sous la forme a(x - x1)(x - x2), avec deux racines réelles distinctes. La forme carrée correspond au cas Δ = 0.

16. Si a > 0 et que x1 < x2 sont les racines d’un trinôme, quel est son signe entre les deux racines ?

A. Il dépend uniquement de c

B. Il est nul

C. Il est négatif

D. Il est positif

Answer: (C)

Spiegazione

Pour a > 0, le trinôme est positif à l’extérieur des racines et négatif entre x1 et x2. Le signe change au passage des racines.