Une collection d'objets mathématiques
Spiegazione
Un ensemble est une collection d'objets mathématiques. Il peut notamment contenir des nombres, des points ou d'autres objets définis.
2\in A
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L'écriture \(2\in A\) signifie que 2 est un élément de l'ensemble \(A\). L'inclusion, comme \(A\subset B\), compare deux ensembles.
\varnothing
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L'ensemble vide ne contient aucun élément et se note \(\varnothing\). À l'inverse, \(\{0\}\) contient l'élément 0.
À l'intersection \(A\cap B\)
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L'intersection \(A\cap B\) contient les éléments communs à \(A\) et à \(B\). La réunion contient également ces éléments, mais l'intersection est l'ensemble caractérisé par leur appartenance aux deux ensembles.
7 est un nombre premier.
Spiegazione
Une proposition est une affirmation qui possède une valeur de vérité, vraie ou fausse. « 7 est un nombre premier » est une affirmation vraie, contrairement à une question ou à une expression ouverte.
x<2
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La négation de « \(x\) est supérieur ou égal à 2 » est « \(x\) est strictement inférieur à 2 ». L'égalité \(x=2\) est donc exclue de la négation.
Elle peut être fausse.
Spiegazione
Une implication vraie n'entraîne pas nécessairement la vérité de sa réciproque \(Q\Rightarrow P\). Les deux énoncés expriment des relations logiques différentes.
Trouver un entier qui ne possède pas P.
Spiegazione
Une affirmation universelle est réfutée par un seul contre-exemple : il suffit de trouver un entier pour lequel la propriété \(P\) est fausse.
Il existe un entier k tel qu'a=kb.
Spiegazione
Par définition, \(a\) est un multiple de \(b\) s'il existe un entier \(k\) tel que \(a=kb\). Dans cette relation, \(b\) est un diviseur de \(a\).
n=2k+1 avec k\in\mathbb Z
Spiegazione
Tout entier impair s'écrit \(n=2k+1\), avec \(k\) entier. La forme \(n=2k\) caractérise au contraire les entiers pairs.
\mathbb N\subset\mathbb Z\subset\mathbb D\subset\mathbb Q\subset\mathbb R
Spiegazione
Les ensembles sont emboîtés selon \(\mathbb N\subset\mathbb Z\subset\mathbb D\subset\mathbb Q\subset\mathbb R\). Chaque ensemble situé à gauche est inclus dans celui qui le suit.
La distance entre −5 et zéro, soit 5
Spiegazione
La valeur absolue représente la distance à zéro : |−5|=5. Le nombre −5 reste cependant négatif.
|−3−7|
Spiegazione
La distance entre deux nombres a et b est |a−b|. Ici, elle vaut |−3−7|=10, une quantité positive ou nulle.
[2;6]
Spiegazione
La relation |x−a|≤r équivaut à a−r≤x≤a+r. Avec a=4 et r=2, on obtient [2;6].
1,41<√2<1,42 est un encadrement d’amplitude 0,01, tandis que √2≈1,414 est une valeur approchée.
Spiegazione
L’encadrement fournit deux bornes dont l’écart vaut 0,01. Une valeur approchée s’écrit avec le symbole ≈, et non avec une égalité exacte.
2⁸
Spiegazione
Pour des puissances de même base multipliées, les exposants s’additionnent : 2³×2⁵=2³⁺⁵=2⁸. Ils se multiplient seulement dans une puissance de puissance.
7,2×10⁻⁴
Spiegazione
Une écriture scientifique s’écrit a×10ⁿ avec 1≤|a|<10. Ainsi, 0,00072=7,2×10⁻⁴.
√(a²)=|a|
Spiegazione
La racine carrée de a² vaut |a|. En revanche, la racine d’une somme ne se sépare généralement pas en somme de racines.
(a+b)(a−b)
Spiegazione
L’identité remarquable différence de deux carrés est (a+b)(a−b)=a²−b².
0,15
Spiegazione
La proportion se calcule par p=n_A/N. Ici, p=120/800=0,15, soit 15 %.
0,15
Spiegazione
Le taux d’évolution est (V₂−V₁)/V₁=(92−80)/80=12/80=0,15, soit 15 %. La variation absolue, elle, vaut 12.
0,82
Spiegazione
Pour une baisse de taux t, le coefficient multiplicateur est 1−t. Avec t=0,18, il vaut 0,82.
Le prix final est inférieur au prix initial, car les coefficients 1,10 et 0,90 se multiplient.
Spiegazione
Les évolutions successives se calculent en multipliant les coefficients : 1,10×0,90=0,99. Le prix final représente donc 99 % du prix initial, soit une baisse de 1 %.
Une direction, un sens et une norme
Spiegazione
Un vecteur décrit un déplacement et possède une direction, un sens et une norme. La direction indique l’orientation, tandis que le sens distingue les deux orientations possibles.
\(\overrightarrow{AC}\)
Spiegazione
D’après la relation de Chasles, \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}\). Les déplacements successifs s’enchaînent donc de A vers C.
\((5;4)\)
Spiegazione
On soustrait les coordonnées de A à celles de B : \(\overrightarrow{AB}=(x_B-x_A;y_B-y_A)=(7-2;3-(-1))=(5;4)\).
5
Spiegazione
La norme vaut \(\sqrt{x^2+y^2}\), donc \(\|\vec u\|=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5\).
\(ax+by+c=0\), avec a et b non simultanément nuls
Spiegazione
Une droite possède une équation cartésienne \(ax+by+c=0\), où a et b ne sont pas simultanément nuls. En revanche, c peut être nul.
Le coefficient directeur et l’ordonnée à l’origine
Spiegazione
Dans une équation \(y=mx+p\), m est le coefficient directeur et p l’ordonnée à l’origine. Ici, \(m=-2\) et \(p=5\).
2
Spiegazione
Le coefficient directeur est \(m=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\frac{10-2}{5-1}=\frac84=2\).
Écrire \(y=3x+p\), puis utiliser \(1=3\times2+p\)
Spiegazione
On écrit d’abord \(y=mx+p\) avec \(m=3\), soit \(y=3x+p\). Les coordonnées de A donnent ensuite \(1=3\times2+p\), ce qui permet de trouver p.
L’image de x
Spiegazione
Une fonction associe à chaque valeur x autorisée un unique nombre \(f(x)\), appelé l’image de x. La valeur x est l’antécédent de \(f(x)\).
\(\mathbb R\setminus\{3\}\)
Spiegazione
Le dénominateur ne doit pas être nul : \(x-3\neq0\), donc \(x\neq3\). Toutes les autres valeurs réelles sont autorisées.
\(y=f(x)\)
Spiegazione
La courbe représentative de f est l’ensemble des points \(M(x;f(x))\). Son équation est donc \(y=f(x)\).
Partir de 2 sur l’axe des abscisses, monter verticalement jusqu’à la courbe, puis lire l’ordonnée
Spiegazione
Pour déterminer une image, on part de l’abscisse 2, on rejoint la courbe verticalement, puis on lit l’ordonnée obtenue. La démarche horizontale à partir d’une ordonnée sert plutôt à rechercher un antécédent.
Lorsque m est négatif
Spiegazione
Le sens de variation d’une fonction affine est déterminé par le signe de m : elle est décroissante lorsque m<0. Le coefficient p ne détermine pas le sens de variation.
Elle est décroissante sur ]−∞;0] puis croissante sur [0;+∞[
Spiegazione
La fonction carré décroît jusqu’à 0, puis croît à partir de 0. Elle atteint son minimum, égal à 0, en x=0.
La fonction inverse est définie sur les réels strictement positifs et strictement négatifs, tandis que la racine carrée est définie sur les réels positifs ou nuls
Spiegazione
La fonction inverse est définie sur ]−∞;0[∪]0;+∞[ et n’est pas définie en 0. La racine carrée est définie sur [0;+∞[.
Choisir une variable, définir la fonction, étudier ses variations et interpréter l’extrémum
Spiegazione
Une optimisation consiste notamment à choisir une variable, exprimer la grandeur par une fonction, préciser son domaine, étudier ses variations, puis interpréter l’extrémum obtenu.
0,15
Spiegazione
La fréquence se calcule par f_i=n_i/N. Ici, f_i=12/80=0,15.
La somme des produits n_i x_i divisée par l’effectif total N
Spiegazione
Avec des effectifs, la moyenne pondérée est donnée par (n_1x_1+⋯+n_px_p)/N. Les effectifs pondèrent donc les différentes valeurs.
Elle partage approximativement la série en deux moitiés
Spiegazione
Après classement des données, la médiane partage approximativement la série en deux moitiés, avec au moins 50 % des valeurs de chaque côté. La moyenne, elle, utilise toutes les valeurs dans un calcul.
13
Spiegazione
L’écart interquartile est égal à Q_3−Q_1. Ici, il vaut 31−18=13.
L’effectif correspondant à la condition A
Spiegazione
Une fréquence conditionnelle utilise comme population de référence la sous-population correspondant à la condition. Pour B sachant A, le dénominateur est donc l’effectif de A.
Une probabilité est comprise entre 0 et 1, avec 0 pour l’impossible et 1 pour le certain
Spiegazione
Toute probabilité appartient à l’intervalle [0;1]. L’événement impossible a une probabilité nulle, tandis que l’événement certain a une probabilité égale à 1.
7/20
Spiegazione
En équiprobabilité, P(A)=Card(A)/Card(Ω). On obtient donc P(A)=7/20.
0,65
Spiegazione
La probabilité de l’événement contraire vérifie P(Ā)=1−P(A). Ainsi, P(Ā)=1−0,35=0,65.
Elle remplace x par la valeur 5
Spiegazione
Cette instruction calcule la valeur actuelle de x augmentée de 1, puis affecte ce résultat à x. Avec x égal à 4, sa nouvelle valeur devient donc 5.
Le bloc associé à `else` est exécuté
Spiegazione
L’instruction `if...else` choisit une branche selon la véracité de la condition. Si la condition est fausse, c’est la branche alternative introduite par `else` qui s’exécute.
Une boucle `while`
Spiegazione
Une boucle `while` est pilotée par une condition et se poursuit tant que celle-ci reste vraie. Une boucle `for` convient plutôt lorsqu’un nombre déterminé de répétitions est prévu.
Elle reçoit une valeur, exécute son bloc et renvoie le résultat indiqué
Spiegazione
Une fonction définie avec `def` reçoit une valeur en argument, exécute les instructions de son bloc et renvoie la valeur précisée par `return`. Elle ne répète pas automatiquement son bloc et ne modifie pas nécessairement une variable globale.
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Qu'est-ce qu'un ensemble en mathématiques ?
Une collection d'objets mathématiques.
Que compare l'écriture 2 ∈ A ?
Un élément à un ensemble.
Que compare l'écriture A ⊂ B ?
Deux ensembles entre eux.
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