Quiz: Mécanique des forces centrales et orbites — 22 domande

1. Qu’est-ce qui caractérise un champ de force central ?

A. La force est toujours tangentielle à la trajectoire

B. La force est dirigée vers un point fixe appelé centre de force

C. La force dérive forcément d’un potentiel vectoriel

D. La force dépend de la vitesse de la particule test

Answer: (B)

Spiegazione

Dans un champ central, la direction de la force vise en tout point le même centre fixe. Le fait qu’elle dépende de la vitesse correspondrait à un autre type d’interaction, pas à un champ central.

2. Quel couple de propriétés est associé à la gravitation newtonienne dans ce cours ?

A. Champ central mais non conservatif

B. Champ non central et non conservatif

C. Champ non central mais conservatif

D. Champ central et conservatif

Answer: (D)

Spiegazione

La gravitation newtonienne est donnée comme un exemple de champ central et conservatif. Elle est donc à la fois dirigée vers le centre et dérive d’une énergie potentielle.

3. Dans un champ central conservatif, quelle écriture traduit la relation entre la force et l’énergie potentielle ?

A. L’énergie potentielle est l’opposé du gradient de la force

B. La force est l’opposé du gradient de l’énergie potentielle

C. La force est égale au gradient de l’énergie potentielle

D. La force est proportionnelle à la dérivée temporelle de l’énergie potentielle

Answer: (B)

Spiegazione

Pour une force conservative, on écrit  vec F = -\nabla E_p. Le signe moins est essentiel ; l’option opposée serait incorrecte.

4. Quelle composante de la force porte un champ central en coordonnées sphériques ?

A. Une combinaison fixe des trois composantes

B. La composante selon \(\vec e_\varphi\)

C. La composante radiale selon \(\vec e_r\)

D. La composante selon \(\vec e_\theta\)

Answer: (C)

Spiegazione

Un champ central est radial : la force est portée par \(\vec e_r\). Les composantes angulaires ne caractérisent pas un champ central.

5. Dans une force centrale conservative, de quoi dépend l’intensité de la force ?

A. De la position et de la vitesse

B. Uniquement de la distance au centre

C. De la masse de la particule uniquement

D. Uniquement de la direction de mouvement

Answer: (B)

Spiegazione

La force centrale est de la forme \(\vec F=F_r(r)\,\vec e_r\), donc son intensité dépend seulement de \(r\). Elle ne dépend pas de la vitesse.

6. Quelle conséquence découle de la colinéarité entre \(\vec{AM}\) et la force centrale ?

A. L’énergie potentielle dépend de l’angle

B. La trajectoire est toujours circulaire

C. La vitesse devient forcément constante

D. Le moment cinétique par rapport au centre reste constant

Answer: (D)

Spiegazione

Comme \(\vec{AM}\wedge\vec F=0\), le théorème du moment cinétique donne \(d\vec L_A/dt=0\). Le moment cinétique est donc conservé.

7. Comment s’écrit le moment cinétique d’un point matériel par rapport à un point fixe A ?

A. \(\vec L_A=\vec{OM}/m\vec v\)

B. \(\vec L_A=\vec{AM}\cdot m\vec v\)

C. \(\vec L_A=\vec{AM}\wedge m\vec v\)

D. \(\vec L_A=m\vec a\wedge\vec v\)

Answer: (C)

Spiegazione

La définition du moment cinétique est le produit vectoriel de la position par la quantité de mouvement. Le produit scalaire proposé dans un distracteur ne mesure pas la rotation.

8. Que relie directement la vitesse aréolaire au moment cinétique ?

A. Elle est inversement proportionnelle à la masse

B. Elle est égale à la dérivée temporelle de la distance

C. Elle dépend uniquement de la forme de la trajectoire

D. Elle est proportionnelle à la norme du moment cinétique

Answer: (D)

Spiegazione

Le cours indique que \(dA/dt = \frac{1}{2m}\|\vec L_O\|\). Ainsi, si le moment cinétique est conservé, la vitesse aréolaire l’est aussi.

9. Pourquoi le mouvement d’un point soumis à une force centrale reste-t-il dans un plan fixe ?

A. Parce que la vitesse est forcément parallèle au rayon

B. Parce que l’énergie mécanique impose un plan

C. Parce que le moment cinétique conserve une direction constante

D. Parce que la force est toujours nulle dans ce cas

Answer: (C)

Spiegazione

La conservation du moment cinétique fixe la direction de \(\vec L\), et la trajectoire reste dans le plan orthogonal à ce vecteur. C’est cette géométrie qui impose le plan du mouvement.

10. Quel énoncé décrit correctement le plan du mouvement dans un champ central ?

A. Il contient le centre de force et la trajectoire y reste confinée

B. Il dépend uniquement de la valeur de l’énergie potentielle

C. Il est toujours parallèle à l’axe des z

D. Il change à chaque instant avec la vitesse

Answer: (A)

Spiegazione

Le plan du mouvement contient le centre de force et est orthogonal à \(\vec L\). Il est fixé par les conditions initiales, pas par une rotation permanente du repère.

11. Que dit la loi des aires pour un mouvement soumis à une force centrale ?

A. La distance au centre reste constante

B. L’angle parcouru est le même pendant des temps égaux

C. Des aires égales sont balayées pendant des temps égaux

D. La vitesse est la même en tout point de la trajectoire

Answer: (C)

Spiegazione

La loi des aires affirme que la vitesse aréolaire est constante. Donc, pour des durées égales, les aires balayées sont égales.

12. À quoi est égale la constante des aires ?

A. À \(dA/dr\)

B. À \(m\,r^2\)

C. À \(r^2\,d\theta/dt\)

D. À \(r\,d\theta/dt\)

Answer: (C)

Spiegazione

La constante des aires est définie par \(C=r^2\dot\theta\). Elle est reliée à la vitesse aréolaire par \(dA/dt = C/2\).

13. Dans un champ conservatif, quelle grandeur se conserve pour le mobile ?

A. La quantité de mouvement vectorielle

B. L’énergie mécanique

C. L’énergie potentielle seule

D. L’énergie cinétique seule

Answer: (B)

Spiegazione

Dans un champ conservatif, l’énergie mécanique \(E_m = E_c + E_p\) reste constante. L’énergie cinétique ou potentielle prises séparément peuvent varier.

14. Quel seuil sépare un état lié d’un état de diffusion dans le cas newtonien attractif ?

A. Une énergie potentielle nulle

B. Une vitesse angulaire nulle

C. Une énergie mécanique nulle

D. Un moment cinétique nul

Answer: (C)

Spiegazione

Le cours indique que le seuil correspond à \(E_m=0\), cas de la parabole. Pour \(E_m<0\), l’état est lié ; pour \(E_m>0\), il s’agit d’un état de diffusion.

15. Quel est le rôle de l’énergie potentielle effective ?

A. Rendre la trajectoire forcément rectiligne

B. Réduire le mouvement radial à un problème à une dimension

C. Remplacer le moment cinétique par l’énergie cinétique

D. Supprimer la dépendance au rayon

Answer: (B)

Spiegazione

L’énergie potentielle effective combine le potentiel et le terme centrifuge, ce qui permet d’étudier uniquement la dynamique radiale. C’est une réduction à un degré de liberté.

16. Quelle condition correspond à une trajectoire circulaire dans cette approche ?

A. Le rayon prend deux valeurs extrêmes

B. L’énergie mécanique atteint sa valeur minimale

C. L’énergie mécanique est positive

D. Le moment cinétique est nul

Answer: (B)

Spiegazione

Quand \(E_m = E_{m,\min}\), le rayon ne varie plus et l’orbite est circulaire. Les autres propositions ne caractérisent pas ce cas particulier.

17. Quelle forme prend le champ gravitationnel newtonien ?

A. Une force répulsive en \(1/r\) dirigée vers la masse

B. Une force tangentielle constante

C. Une force attractive en \(1/r^2\) dirigée vers la masse

D. Une force proportionnelle à \(r^2\)

Answer: (C)

Spiegazione

Le champ newtonien est de la forme \(\vec F=-G\frac{m_0m}{r^2}\,\vec e_r\). Il est donc attractif et décroît comme l’inverse du carré de la distance.

18. Quelle comparaison entre gravitation et Coulomb est correcte ?

A. Elles sont toutes deux forcément répulsives

B. Elles ne sont jamais centrales

C. Elles ont une énergie potentielle linéaire en \(r\)

D. Elles ont la même dépendance en \(1/r^2\)

Answer: (D)

Spiegazione

Les forces gravitationnelle et de Coulomb ont la même structure en \(1/r^2\), avec un signe dépendant du contexte. C’est pourquoi elles sont traitées ensemble comme champs newtoniens.

19. Quel terme s’ajoute au potentiel gravitationnel dans l’énergie potentielle effective avec ressort ?

A. Un terme centrifuge proportionnel à \(C^2/r^2\)

B. Un terme constant indépendant de \(r\)

C. Un terme proportionnel à \(r\)

D. Un terme proportionnel à \(1/r\) uniquement

Answer: (A)

Spiegazione

L’énergie potentielle effective inclut le terme centrifuge lié au moment cinétique, de type \(C^2/r^2\). C’est ce terme qui participe à l’étude du mouvement radial.

20. Que permet de faire l’équation \(E_m=E_{p,eff}(r)\) aux rayons extrémaux ?

A. Montrer que l’orbite est toujours circulaire

B. Calculer directement la période sans autre information

C. Déterminer les valeurs de \(r\) où la vitesse radiale s’annule

D. Prouver que le moment cinétique n’existe pas

Answer: (C)

Spiegazione

Aux rayons extrémaux, on a \(\dot r=0\), donc l’énergie mécanique est égale à l’énergie potentielle effective. Cette condition permet de trouver \(r_{\min}\) et \(r_{\max}\).

21. Quelle formule donne la vitesse de libération à la distance \(R_T\) ?

A. \(v_0=\sqrt{2GM_T/R_T}\)

B. \(v_0=GM_T/R_T\)

C. \(v_0=2GM_T/R_T\)

D. \(v_0=\sqrt{GM_T/R_T}\)

Answer: (A)

Spiegazione

La vitesse de libération est obtenue en imposant \(E_m=0\) à la distance \(R_T\), ce qui conduit à \(v_0=\sqrt{2GM_T/R_T}\). C’est la valeur minimale pour atteindre l’infini sans vitesse résiduelle.

22. Pour une orbite circulaire de rayon \(R\), quelle relation donne la vitesse orbitale ?

A. \(v=\sqrt{2m_0G/R}\)

B. \(v=m_0G/R\)

C. \(v=\sqrt{m_0G/R}\)

D. \(v=R^2/(m_0G)\)

Answer: (C)

Spiegazione

En orbite circulaire, la force gravitationnelle fournit l’accélération centripète, d’où \(mv^2/R = Gm_0m/R^2\). On obtient alors \(v=\sqrt{m_0G/R}\).