Quiz: Nombres complexes et transformations — 17 domande

1. Quelle est la forme algébrique d’un nombre complexe ?

A. z=a(cos b+i sin b), avec a et b réels

B. z=ρ+iθ, avec ρ et θ réels

C. z=ρ(cos θ+i sin θ), avec ρ un angle

D. z=a+ib, avec a et b réels et i²=-1

Answer: (D)

Spiegazione

La forme algébrique est z=a+ib, où a et b sont réels et où i²=-1. La forme ρ(cos θ+i sin θ) est la forme trigonométrique.

2. Dans la forme trigonométrique z=ρ(cos θ+i sin θ), que représentent ρ et θ ?

A. ρ est l’ordonnée et θ est l’abscisse

B. ρ est la partie réelle et θ est la partie imaginaire

C. ρ est un argument et θ est le module

D. ρ est le module et θ est un argument

Answer: (D)

Spiegazione

Dans cette écriture, ρ=|z| est le module, c’est-à-dire une longueur, tandis que θ=Arg(z) est un argument, c’est-à-dire un angle.

3. Quel est le module du nombre complexe z=3+4i ?

A. 1

B. 5

C. 7

D. 25

Answer: (B)

Spiegazione

Le module vérifie |z|=√(a²+b²). Ici, |3+4i|=√(3²+4²)=√25=5.

4. À quelle condition deux nombres complexes a+ib et a′+ib′ sont-ils égaux ?

A. Lorsqu'a−b=a′−b′

B. Lorsqu'a=a′ et b=b′

C. Lorsqu'a+b=a′+b′

D. Lorsque leurs modules sont égaux

Answer: (B)

Spiegazione

Deux nombres complexes écrits sous forme algébrique sont égaux si et seulement si leurs parties réelles sont égales et leurs coefficients de i sont égaux.

5. Si A et B ont pour affixes z_A et z_B, quelle est l’affixe du vecteur \overrightarrow{AB} ?

A. z_Az_B

B. z_A−z_B

C. (z_A+z_B)/2

D. z_B−z_A

Answer: (D)

Spiegazione

L’affixe de \overrightarrow{AB} est z_B−z_A. L’expression z_A−z_B correspond au vecteur opposé.

6. Quelle condition caractérise l’alignement des points A, B et C d’affixes respectives z_A, z_B et z_C ?

A. |z_C−z_A|=|z_C−z_B|

B. (z_C−z_A)/(z_B−z_A) est réel

C. (z_A+z_B)/2=z_C

D. (z_C−z_A)/(z_B−z_A) est imaginaire pur

Answer: (B)

Spiegazione

Les points A, B et C sont alignés si et seulement si le quotient (z_C−z_A)/(z_B−z_A) est réel.

7. Pour établir que les droites AB et AC sont orthogonales, quelle propriété du quotient complexe faut-il vérifier ?

A. Son module vaut 1

B. Il est un nombre réel

C. Il est un imaginaire pur

D. Il est égal à zéro

Answer: (C)

Spiegazione

Les droites AB et AC sont orthogonales si et seulement si (z_C−z_A)/(z_B−z_A) est un imaginaire pur. Un quotient réel caractérise plutôt l’alignement.

8. Quel est l’ensemble des points M vérifiant |z_M−z_A|=R ?

A. Le cercle de centre M et de rayon A

B. Le cercle de centre A et de rayon R

C. La droite passant par A et de longueur R

D. La médiatrice d’un segment de longueur R

Answer: (B)

Spiegazione

La quantité |z_M−z_A| représente la distance MA. Les points situés à distance R de A forment donc le cercle de centre A et de rayon R.

9. Quelle égalité exprime la formule de Moivre ?

A. (cos θ+i sin θ)^n=cos(θ/n)+i sin(θ/n)

B. (cos θ+i sin θ)^n=cos θ+i sin(nθ)

C. (cos θ+i sin θ)^n=cos(nθ)+i sin(nθ)

D. (cos θ+i sin θ)^n=n cos θ+i n sin θ

Answer: (C)

Spiegazione

La formule de Moivre indique que l’élévation à la puissance n multiplie l’angle par n : (cos θ+i sin θ)^n=cos(nθ)+i sin(nθ).

10. Quand un nombre complexe non nul est-il réel en fonction de son argument ?

A. Lorsque son argument est de la forme kπ

B. Lorsque son argument est strictement positif

C. Lorsque son argument est de la forme 2kπ+π/2

D. Lorsque son argument est de la forme π/2+kπ

Answer: (A)

Spiegazione

Un complexe non nul est réel si et seulement si son argument appartient à l’ensemble des multiples de π, c’est-à-dire kπ.

11. Quand un nombre complexe non nul est-il imaginaire pur en fonction de son argument ?

A. Lorsque son argument est de la forme kπ/2

B. Lorsque son argument est de la forme kπ

C. Lorsque son argument est de la forme π/2+kπ

D. Lorsque son argument est égal à zéro

Answer: (C)

Spiegazione

Un complexe non nul est imaginaire pur si et seulement si son argument est de la forme π/2+kπ. Les arguments kπ caractérisent les nombres réels.

12. Pour résoudre l’équation complexe \(a+ib=x+iy\), quel système faut-il établir ?

A. \(a=x\) et \(b=y\)

B. \(a=y\) et \(b=x\)

C. \(a+b=x+y\) et \(ab=xy\)

D. \(a-x=b-y\) et \(a+x=b+y\)

Answer: (A)

Spiegazione

Deux nombres complexes sont égaux si et seulement si leurs parties réelles et leurs parties imaginaires sont respectivement égales. On obtient donc \(a=x\) et \(b=y\).

13. Si l’on a \(3-5i=x+iy\), quelles sont les valeurs de \(x\) et de \(y\) ?

A. \(x=-5\) et \(y=3\)

B. \(x=3\) et \(y=5\)

C. \(x=3\) et \(y=-5\)

D. \(x=-3\) et \(y=-5\)

Answer: (C)

Spiegazione

L’identification des parties réelle et imaginaire donne directement \(x=3\) et \(y=-5\).

14. Qu’est-ce qu’une transformation plane associe à un point \(M\) ?

A. Un unique point image \(M'=f(M)\)

B. Un vecteur indépendant du point choisi

C. Deux points images toujours distincts

D. Un nombre complexe sans point correspondant

Answer: (A)

Spiegazione

Une transformation plane associe à chaque point \(M\) du plan un unique point image \(M'=f(M)\). Un point est invariant lorsque son image est lui-même.

15. Une translation de vecteur non nul \(\vec v\) possède-t-elle un point invariant ?

A. Oui, son centre de translation est invariant

B. Non, elle n’en possède aucun

C. Oui, un unique point situé à l’origine est invariant

D. Oui, tous les points sont invariants

Answer: (B)

Spiegazione

Pour une translation de vecteur non nul, aucun point ne vérifie \(f(M)=M\). La notion de centre invariant concerne notamment une homothétie de rapport différent de 1.

16. Quelle est l’expression complexe de l’homothétie de centre d’affixe \(\omega\) et de rapport \(k\) ?

A. \(z'=kz+(1+k)\omega\)

B. \(z'=e^{i\theta}z+(1-e^{i\theta})\omega\)

C. \(z'=kz+(1-k)\omega\)

D. \(z'=z+(1-k)\omega\)

Answer: (C)

Spiegazione

L’homothétie de centre \(\Omega\), d’affixe \(\omega\), et de rapport \(k\) s’écrit \(z'=kz+(1-k)\omega\).

17. Quelle expression complexe représente une rotation de centre d’affixe \(\omega\) et d’angle \(\theta\) ?

A. \(z'=kz+(1-k)\omega\)

B. \(z'=e^{i\theta}z+(1-e^{i\theta})\omega\)

C. \(z'=e^{i\theta}z+(1+e^{i\theta})\omega\)

D. \(z'=z+e^{i\theta}\omega\)

Answer: (B)

Spiegazione

Une rotation de centre \(\Omega\) et d’angle \(\theta\) a pour expression \(z'=e^{i\theta}z+(1-e^{i\theta})\omega\), avec \(e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta\).