Flashcard: Nombres complexes I — 49 carte

Qu'est-ce qu'un nombre complexe ?

Un élément de C construit à partir de couples de réels avec addition et multiplication.

Comment s'additionnent deux couples réels (a,b) et (a',b') ?

Par (a,b)+(a',b')=(a+a',b+b').

Comment se multiplient deux couples réels (a,b) et (a',b') ?

Par (a,b)(a',b')=(aa'-bb',ab'+a'b).

Quelle est la valeur de i² si i=(0,1) ?

i² = -1.

Comment s'exprime un couple (a,b) en fonction de i ?

Sous la forme a + ib.

Quelles propriétés ont l'addition et la multiplication des nombres complexes ?

Elles sont commutatives, associatives et distributives.

Quelle est la forme algébrique d'un nombre complexe z ?

z = a + ib avec a et b réels.

Quelle est la partie réelle de z = a + ib ?

La partie réelle est a.

Comment se note la partie réelle de z ?

Elle se note Re(z).

Quelle est la partie imaginaire de z = a + ib ?

La partie imaginaire est b.

Comment se note la partie imaginaire de z ?

Elle se note Im(z).

Quelle condition doit être remplie pour que deux nombres complexes soient égaux ?

Leurs parties réelles et imaginaires doivent être égales.

Quelle est l'expression de l'opposé de z = a + ib ?

L'opposé de z est -a - ib.

Comment s'exprime la différence z₁ - z₂ en fonction de l'opposé ?

La différence z₁ - z₂ est z₁ + (-z₂).

Quelle est la formule de l'inverse d'un nombre complexe z = a + ib non nul ?

L'inverse est (a - ib)/(a² + b²).

Comment définit-on le quotient de z par z' avec z' non nul ?

Le quotient est z multiplié par l'inverse de z'.

Quelle condition équivaut à ce que le produit de deux nombres complexes soit nul ?

Le produit est nul si et seulement si l’un des deux nombres est nul.

Quelle est la formule du discriminant pour az²+bz+c=0 avec a≠0 ?

Le discriminant est Δ = b² - 4ac.

Que signifie Δ>0 pour les solutions de l'équation du second degré ?

L'équation a deux solutions réelles distinctes.

Quelle est la formule de la première solution réelle si Δ>0 ?

z₁ = (-b - √Δ) / (2a).

Quelle est la formule de la seconde solution réelle si Δ>0 ?

z₂ = (-b + √Δ) / (2a).

Quelle est la formule de la solution réelle double si Δ=0 ?

z₁ = -b / (2a).

Comment se factorise le trinôme si Δ=0 ?

Il se factorise en a(z - z₁)².

Qu'est-ce que l'affixe d'un point M(x,y) ?

C'est le nombre complexe z = x + iy.

Quand un point appartient-il à l'axe des abscisses selon son affixe ?

Quand son affixe est un nombre réel.

Quand un point appartient-il à l'axe des ordonnées selon son affixe ?

Quand son affixe est un imaginaire pur.

Quelle est l'affixe du vecteur MM' si M et M' ont pour affixes z et z' ?

C'est z' moins z.

Quelle est l'affixe de la somme des vecteurs OM et OM' ?

C'est z plus z'.

Qu'est-ce que le conjugué d'un nombre complexe z = a + ib ?

C'est le nombre complexe overline{z} = a - ib.

Que représente le conjugué d'un nombre dans le plan complexe ?

L'affixe du syme9trique de son point par rapport e0 l'axe des abscisses.

Quelle formule relie |z|^2 au conjugue9 de z ?

|z|^2 = z overline{z}.

Comment s'exprime l'inverse de z e0 partir de son conjugue9 si z e9tait non nul ?

1/z = overline{z} / |z|^2.

Quelle est la formule du module du produit de deux nombres complexes z et z' ?

|zz'| = |z| times |z'|.

Quelle ine9galite9 triangulaire s'applique aux modules de z et z' ?

|z + z'| leq |z| + |z'|.

Comment se définit l'exponentielle complexe pour un réel θ ?

Par e^{iθ} = cos(θ) + i sin(θ).

Quelle condition caractérise un nombre complexe de module 1 ?

Il existe un réel θ tel que z = e^{iθ}.

Quelle formule relie e^{i(α+β)} à e^{iα} et e^{iβ} ?

e^{i(α+β)} = e^{iα} e^{iβ}.

Comment s'exprime (e^{iθ})^n en fonction de n et θ ?

(e^{iθ})^n = e^{i n θ}.

Comment exprime-t-on cos(θ) avec des exponentielles complexes ?

cos(θ) = (e^{iθ} + e^{-iθ}) / 2.

Comment exprime-t-on sin(θ) avec des exponentielles complexes ?

sin(θ) = (e^{iθ} - e^{-iθ}) / (2i).

Quelle est la forme exponentielle d'un complexe non nul z ?

z=|z|e^{iθ} avec un réel θ.

Qu'est-ce qu'un argument d'un nombre complexe z non nul ?

Un réel θ tel que z=|z|e^{iθ}.

Comment est défini l'argument d'un complexe ?

Il est défini modulo 2π.

Quelle est la forme trigonométrique d'un complexe non nul z ?

z=|z|(cos(theta)+isin(theta)).

Comment se calcule l'argument du produit de deux complexes non nuls ?

C'est la somme des arguments modulo 2π.

Comment se calcule l'argument du quotient de deux complexes non nuls ?

C'est la différence des arguments modulo 2π.

Quelle est la première étape pour calculer une puissance d'un complexe non nul ?

Mettre le nombre sous forme exponentielle.

Que fait-on aux module et argument pour calculer une puissance complexe ?

On élève le module à la puissance et on multiplie l'argument par cette puissance.

Que signifie Δ<0 pour une équation du second degré ?

Elle possède deux solutions complexes conjuguées.