Notions fondamentales des fonctions composées

📋 Plan du Cours

1. Composition de deux fonctions
2. Dérivée de la composée de deux fonctions
3. Dérivées des compositions usuelles
4. Primitives des fonctions composées

📖 1. Composition de deux fonctions

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction composée : Une fonction composée combine deux fonctions en appliquant d’abord la première puis la seconde au résultat.
• v ∘ u : La notation v ∘ u désigne la fonction qui envoie x sur v(u(x)) en commençant par u.
• Sens de la composition : Le sens de v ∘ u compte : changer l’ordre des fonctions change en général la valeur obtenue.

📝 Points essentiels

• v ∘ u est définie sur I et vaut v(u(x)) pour tout x de I.
• Pour que v ∘ u soit définie, il faut que u(x) appartienne à J pour tout x de I.
• En général v ∘ u n’est pas égal à u ∘ v car l’ordre des applications change.
• Exemple : si u(x)=x+π/3 et v(x)=cos x, alors v ∘ u(x)=cos(x+π/3).
• Avec les mêmes fonctions, u ∘ v(x)=cos x + π/3, donc les deux compositions diffèrent.

💡 Astuce mémo

v ∘ u : « v rond u » → on met u à l’intérieur de v.

📖 2. Dérivée de la composée de deux fonctions

🔑 Notions clés & Définitions

• Théorème de la dérivation de la composée : Le théorème donne la dérivée d’une composée v ∘ u à partir des dérivées de u et de v.
• Règle de la chaîne : La règle de la chaîne exprime la dérivée d’une composée comme produit de u’ et de la dérivée de v évaluée en u.

📝 Points essentiels