Flashcard: Principes et limites des suites mathématiques — 20 carte

Principe de récurrence — définition ?

Méthode prouvant une propriété pour tous n à partir d’un rang initial.

Initialisation — rôle ?

Vérifier la propriété pour le premier rang de la suite.

Hérédité — rôle ?

Montrer que la propriété à un rang implique le suivant.

Principe d’hérédité — formulation ?

Si vrai à n₀ et héréditaire, alors vrai pour tous n ≥ n₀.

Application aux suites — objectif ?

Trouver une formule explicite ou monotonicité.

Monotonie par récurrence — preuve ?

Prouver u_{n+1} ≥ u_n ou ≤ en utilisant récurrence.

Inégalité de Bernoulli — formule ?

(1+a)^n ≥ 1+na pour a>0.

Inégalité de Bernoulli — condition ?

a > 0, n entier naturel.

Limite +∞ — définition ?

Suite dont les termes dépassent toute borne à partir d’un rang.

Limite finie — définition ?

Suite dont les termes se rapprochent d’un réel L.

Opérations sur limites — règle ?

Lim u_n ± v_n = lim u_n ± lim v_n, sous conditions.

Formes indéterminées — exemples ?

∞−∞, 0×∞, ∞/∞, 0/0.

Lever une indétermination — méthode ?

Factoriser ou multiplier par le conjugué.

Forme ∞−∞ — résolution ?

Factoriser par le terme dominant.

Suite géométrique — définition ?

u_{n+1} = q·u_n avec q constant.

Formule explicite suite géométrique ?

u_n = u_0·q^n.

Convergence suite géométrique — cas q<1 ?

Tend vers 0.

Convergence suite géométrique — cas q=1 ?

Constante, ne tend pas vers autre chose.

Convergence suite géométrique — cas |q|>1 ?

Diverge vers +∞ ou −∞.

Somme géométrique — formule ?

(1−q^{n+1})/(1−q), q≠1.