Flashcard: Principes et techniques de récurrence et limites — 20 carte

Principe du raisonnement par récurrence

Preuve qu’une propriété est vraie pour tous les entiers à partir d’un rang initial.

Méthode de démonstration par récurrence

Vérifier initialisation puis hérédité pour conclure.

Exemple de récurrence sur une suite

Prouver une formule ou une propriété pour tous n via étape initiale et hérédité.

Inégalité de Bernoulli — rôle

Établir une borne pour (1+a)^n quand a>0.

Rôle de l’initialisation en récurrence

Vérifier la propriété au rang de départ pour enclencher la preuve.

Limite infinie — suite divergente ?

Oui, si les termes deviennent arbitrairement grands.

Limite finie — suite convergente ?

Oui, si les termes se rapprochent d’un nombre L.

Opérations sur limites — forme indéterminée

Requiert factorisation ou expression conjuguée pour lever l’indétermination.

Lever une indétermination — méthode

Factoriser ou multiplier par l’expression conjuguée.

Initialisation en récurrence — importance

Vérifier la propriété au rang initial pour garantir la suite.

Limite d’une suite — définition

Valeur approchée vers laquelle la suite tend quand n→+∞.

Limites des suites usuelles — exemple

n^α→+∞, 1/n→0, (-1)^n divergence.

Forme indéterminée — exemple

0/0, ∞/∞, ∞−∞, 0×∞.

Lever une indétermination — technique

Factoriser par le monôme de plus haut degré.

Expression conjuguée — rôle

Simplifier une différence de racines en produit pour lever l’indétermination.

Récurrence — étape clé

Initialisation et hérédité pour prouver la propriété.

Limite infinie — définition

Les termes dépassent tout réel à partir d’un rang.

Limite finie — définition

Les termes restent proches d’un nombre L.

Opérations sur limites — précautions

Vérifier qu’elles ne sont pas formes indéterminées.

Forme indéterminée — traitement

Factoriser ou utiliser l’expression conjuguée.