Quiz: Probabilités conditionnelles et suites géométriques — 9 domande

1. Quelle est la formule de la probabilité conditionnelle de l'événement A sachant B ?

A. $ P(A|B) = rac{P(A ext{ et } B)}{P(B)} $

B. $ P(A|B) = rac{P(A imes B)}{P(B)} $

C. $ P(A|B) = P(A) imes P(B|A) $

D. $ P(A|B) = P(B|A) imes P(A) $

Answer: (A)

Spiegazione

La probabilité conditionnelle de A sachant B est définie par $ P(A|B) = rac{P(A ext{ et } B)}{P(B)} $ lorsque $ P(B) > 0 $. Cela exprime la probabilité que A se produise étant donné que B est réalisé, en utilisant la probabilité conjointe de A et B sur la probabilité de B.

2. Quelle est la formule de la probabilité conditionnelle de l'événement A sachant B?

A. P(A|B) = P(A) * P(B|A)

B. P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B)

C. P(A|B) = P(B|A) / P(A)

D. P(A|B) = P(A ∩ B) / P(A)

Answer: (B)

Spiegazione

La formule correcte est P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B), cela nous donne la probabilité de A dans le contexte où B est vrai. Les autres sont incorrectes ou inversent les termes.

3. Quelle est la formule du terme général pour la loi géométrique, représentant la probabilité que la première réussite survienne au k-ième essai ?

A. $ P(X=k) = p^{k} (1-p) $

B. $ P(X=k) = (1-p)^{k-1} $

C. $ P(X=k) = p (1-p)^{k} $

D. $ P(X=k) = p (1-p)^{k-1} $

Answer: (D)

Spiegazione

Pour une variable aléatoire géométrique, la probabilité que la première réussite ait lieu au k-ième essai est donnée par $ P(X=k) = p (1-p)^{k-1} $. Cela signifie qu'il y a (k-1) échecs consécutifs suivis d'une réussite.

4. Quelle propriété la variable géométrique modélise-t-elle?

A. Le nombre de succès avant la première échec

B. Le nombre d’essais jusqu’à la première réussite, incluant la réussite

C. La durée entre deux réussites

D. Le nombre d’échecs avant la première réussite, sans inclure la réussite

Answer: (B)

Spiegazione

La variable géométrique modélise le nombre d’essais jusqu’à la première réussite, y compris cette réussite. La formule $ P(X=k) = p(1-p)^{k-1} $ le montre clairement.

5. Quelle est l'espérance mathématique d'une variable géométrique de paramètre p ?

A. $ E(X) = p $

B. $ E(X) = 1 - p $

C. $ E(X) = p^2 $

D. $ E(X) = rac{1}{p} $

Answer: (D)

Spiegazione

L'espérance d'une variable géométrique, qui modélise le nombre d'essais jusqu'à la première réussite, est donnée par $ E(X) = rac{1}{p} $. Cela reflète la moyenne du nombre d'essais nécessaires en fonction de la probabilité de succès p à chaque essai.

6. Selon la fiche, quelle est l'espérance E(X) d'une variable géométrique de paramètre p?

A. E(X) = p

B. E(X) = 1/p

C. E(X) = (1-p)/p

D. E(X) = p/(1-p)

Answer: (B)

Spiegazione

L'espérance de la variable géométrique est E(X) = 1/p, ce qui indique le nombre moyen d’essais nécessaires avant la première réussite.

7. Quelle est la caractéristique de la variable géométrique liée à son 'mémoire nulle'?

A. Elle dépend des essais précédents

B. Elle a une probabilité de succès qui change à chaque essai

C. La probabilité de succès ne dépend pas des essais passés, chaque essai étant identique et indépendant

D. Elle ne modélise que des échecs consécutifs

Answer: (C)

Spiegazione

La mémoire nulle signifie que la probabilité de succès à chaque essai reste constante et indépendante des essais précédents, ce qui est une caractéristique fondamentale de la variable géométrique.

8. Quelle formule représente la variance Var(X) d’une variable géométrique de paramètre p?

A. Var(X) = p(1-p)

B. Var(X) = (1-p)/p^2

C. Var(X) = 1/p^2

D. Var(X) = (1-p)^2 / p^2

Answer: (B)

Spiegazione

La variance d’une variable géométrique est Var(X) = (1-p)/p^2, indiquant la dispersion autour de la moyenne. La formule montre comment la dispersion augmente lorsque p diminue.

9. Quelle propriété la loi géométrique assure-t-elle à propos de la somme des probabilités?

A. Elle ne garantit pas que la somme soit finie

B. La somme des probabilités pour k ≥ 1 est infinie

C. La somme des probabilités pour k ≥ 1 est égale à un, vérifiant qu'il s'agit d'une loi de probabilité valide

D. Elle ne concerne que la probabilité de la première réussite

Answer: (C)

Spiegazione

La somme infinie de P(X=k) pour k ≥ 1 est égale à 1, assurant que la loi géométrique est une distribution de probabilité valide.