Projections linéaires et décomposition d'espace

📋 Plan du Cours

1. Projection linéaire en espace vectoriel
2. Propriété d'idempotence
3. Interprétation géométrique
4. Projection sur sous-espace
5. Décomposition d'espace
6. Valeurs propres
7. Sous-espaces propres
8. Matrice d'une projection
9. Trace d'une projection
10. Rang d'une projection

📖 1. Projection linéaire en espace vectoriel

🔑 Notions clés & Définitions

• Projection (application linéaire) : Application linéaire $p : E \to E$ telle que $p^2 = p$. Cela signifie que pour tout $x \in E$, $p(p(x)) = p(x)$. La projection est dite idempotente.

• Interprétation géométrique : La projection correspond à la projection d’un vecteur sur un sous-espace $F$ parallèlement à un autre sous-espace $G$. Si $E = F \oplus G$, alors tout $x \in E$ s’écrit $x = f + g$ avec $f \in F$ et $g \in G$, et $p(x) = f$.