Flashcard: Racines carrées — 45 carte

Qu'est-ce que la racine carrée d'un nombre réel positif a ?

C'est le nombre réel positif dont le carré est a.

Quelle condition doit satisfaire a pour que $\sqrt{a}$ existe dans les réels ?

a doit être supérieur ou égal à zéro.

Que vaut $\left(\sqrt{a}\right)^2$ pour a\ge 0 ?

Elle vaut a.

Que vaut $\sqrt{a^2}$ pour a\ge 0 ?

Elle vaut la valeur absolue de a.

À quoi équivaut l'égalité $\sqrt{a}=b$ pour a\ge 0 ?

Elle équivaut à $b^2=a$ et $b\ge 0$.

Quelle est la racine carrée de 9 ?

3.

Quelle est la racine carrée de 0,49 ?

0,7.

Quelle est la racine carrée de $\frac{36}{81}$ ?

$\frac{2}{3}$.

Qu'est-ce qu'un carré parfait ?

Un entier naturel dont la racine carrée est un entier naturel.

Quels sont les carrés parfaits entre 0 et 20 ?

0, 1, 4, 9 et 16.

Pourquoi la racine carrée d'un entier non carré parfait n'est-elle pas décimale finie ?

Parce qu'elle est irrationnelle.

Quelle est la première étape pour approcher une racine carrée à la main ?

Encadrer le nombre entre deux carrés.

Comment affine-t-on l'encadrement pour approcher une racine carrée ?

On affine progressivement avec des décimaux.

En quoi consiste la méthode d’extraction manuelle ?

Découper le nombre en tranches de deux chiffres, choisir le plus grand chiffre compatible, soustraire, abaisser la tranche suivante et répéter.

Quelle formule utilise la méthode de Héron pour calculer \(x_{n+1}\) ?

\(x_{n+1}=\frac{1}{2}\left(x_n+\frac{a}{x_n}\right)\).

Comment commence-t-on la méthode de Héron pour \(\sqrt{a}\) ?

Avec une approximation initiale \(x_0\) de \(\sqrt{a}\).

Quelle est la première approximation \(x_1\) pour \(\sqrt{60}\) avec \(x_0=8\) selon l'exemple ?

\(x_1=7,5\).

Quelle est la deuxième approximation \(x_2\) pour \(\sqrt{60}\) avec \(x_0=8\) selon l'exemple ?

\(x_2=7,75\).

Quelle est la formule pour la racine carrée d'un produit de réels positifs ?

2ab = a b

Quelle est la premie8re e9tape pour simplifier 2n ?

Chercher le plus grand carre9 parfait qui divise n.

Quelle est la deuxie8me e9tape pour simplifier 2n apre8s avoir trouve9 le carre9 parfait ?

Extraire la racine carre9e de ce carre9 parfait.

Comment simplifie-t-on 272 ?

272 = 36 d7 2 = 62.

Quelle est la formule pour la racine carre9e d'un quotient de re9els positifs ?

a/b = a/b

Quelle est la formule générale pour \(\sqrt{a^n}\) avec \(a>0\) réel et \(n\) entier ?

\(\sqrt{a^n} = a^{n/2}\).

Que vaut \(\sqrt{a^{2k}}\) pour un exposant pair ?

\(\sqrt{a^{2k}} = a^k\).

Que vaut \(\sqrt{a^{2k+1}}\) pour un exposant impair positif ?

\(\sqrt{a^{2k+1}} = a^k \sqrt{a}\).

Comment s'exprime \(\sqrt{7^5}\) en simplifiant ?

\(\sqrt{7^5} = 7^2 \sqrt{7} = 49 \sqrt{7}\).

Peut-on écrire \(\sqrt{a+b}\) comme \(\sqrt a + \sqrt b\) en général ?

Non, \(\sqrt{a+b} \neq \sqrt a + \sqrt b\) en général.

Peut-on écrire \(\sqrt{a^2+b^2}\) comme \(a+b\) en général ?

Non, \(\sqrt{a^2+b^2} \neq a + b\) en général.

Quand peut-on additionner ou soustraire des radicaux dans une somme ?

On peut seulement additionner ou soustraire les radicaux avec la même racine carrée.

Comment simplifie-t-on \(8\sqrt{5} - 2\sqrt{2} + 2\sqrt{5}\) ?

On simplifie en regroupant \(8\sqrt{5} + 2\sqrt{5} = 10\sqrt{5}\).

Quelle condition relie a et b réels positifs pour qu'a ≤ b ?

a ≤ b si et seulement si √a ≤ √b.

Pourquoi peut-on comparer les carrés pour comparer deux expressions radicales positives ?

Parce que la fonction carré conserve l’ordre sur les nombres positifs.

Comment comparer √7 et 4√3 en utilisant leurs carrés ?

On compare 7 et 48, donc √7 < 4√3.

Quelle inégalité montre que √2 - 5 est inférieur à √2 ?

Comme √2 - 5 < 0 et √2 > 0, on a √2 - 5 < √2.

Qu'impose la rationalisation d'un dénominateur ?

Multiplier numérateur et dénominateur par une expression supprimant le radical du dénominateur.

Par quoi amplifie-t-on un dénominateur de la forme √b ?

Par √b pour obtenir un dénominateur égal à b.

Quelle expression utilise-t-on pour rationaliser un dénominateur u+v ou u-v avec radicaux ?

L'expression conjuguée pour appliquer la différence de deux carrés.

Comment rationalise-t-on la fraction 4/√5 ?

En multipliant par √5 pour obtenir 4√5/5.

Quelles solutions l'équation x² = a admet-elle si a > 0 ?

Deux solutions distinctes : x = √a et x = -√a.

Quelle est la solution de l'équation x² = 0 ?

L'unique solution est x = 0.

Pourquoi l'équation x² = a n'a-t-elle aucune solution réelle si a < 0 ?

Parce qu'un carré est toujours positif ou nul.

Quelle est la première étape pour résoudre (x+2)² = 7 ?

Prendre la racine carrée avec les deux signes.

Quelle est la solution de l'équation (x+2)² = 7 après isolation de x ?

x = -2 ± √7.

Pourquoi l'équation x² + 4x + 7 = 0 est-elle impossible dans les réels ?

Car elle se réécrit (x+2)² + 3 = 0, impossible pour un carré plus un positif.