Flashcard: Séries numériques — 43 carte

Qu'est-ce qu'une série de terme général u_n ?

C'est la suite des sommes partielles S_N = ∑_{n=n_0}^N u_n.

Quand une série ∑ u_n est-elle dite convergente ?

Quand la suite de ses sommes partielles converge.

Comment définit-on la somme d'une série convergente ?

C'est la limite des sommes partielles quand N tend vers l'infini.

Quelle valeur exacte donne la série de Bâle ?

Elle vaut π²/6.

Quelle série est appelée série de Bâle ?

La série ∑_{n=1}^{∞} 1/n².

Qui a étudié la série de Bâle en 1735 ?

Euler dans le problème de Bâle.

Qu'impose la convergence d'une série sur son terme général ?

Le terme général tend vers zéro.

Que montre l'exemple de la série harmonique sur la convergence ?

Elle diverge malgré que son terme général tende vers zéro.

Que se passe-t-il si le terme général d'une série ne tend pas vers zéro ?

La série diverge grossièrement.

Quelle est la formule de la somme de combinaisons linéaires de séries convergentes ?

La somme est la combinaison linéaire des sommes des séries.

Quelle opération sur un nombre fini de termes change la nature d'une série ?

Aucune opération sur un nombre fini de termes ne change la nature d'une série.

Qu'est-ce que le reste d'une série convergente d'ordre N ?

C'est la différence entre la somme totale et la somme partielle d'ordre N.

Quelle limite vérifie le reste d'ordre N d'une série convergente ?

Le reste d'ordre N tend vers zéro.

Quelle formule exprime la somme d'une série télescopique ?

La somme est la limite de u_n moins u_{n_0} quand n tend vers l'infini.

Quelle condition est nécessaire pour appliquer la formule de la série télescopique ?

La limite de u_n quand n tend vers l'infini doit exister.

Quelle est la première étape pour calculer une somme télescopique ?

Développer les sommes partielles.

Que fait-on après avoir développé les sommes partielles dans une somme télescopique ?

On supprime les termes qui se compensent.

Quelle est la dernière étape du calcul d'une somme télescopique ?

Passer à la limite.

Quelle condition assure la convergence de la série géométrique \(\sum_{n=n_0}^{+\infty} z^n\) ?

La série converge si et seulement si \(|z|<1\).

Quelle est la somme de la série géométrique \(\sum_{n=n_0}^{+\infty} z^n\) quand elle converge ?

Sa somme vaut \(\frac{z^{n_0}}{1-z}\).

Quelle formule exprime la série exponentielle pour tout \(z\in\mathbb{C}\) ?

\(\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{z^n}{n!} = e^z\).

La série de Riemann \(\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^\alpha}\) converge sous quelle condition sur \(\alpha\) ?

Elle converge si et seulement si \(\alpha > 1\).

Comment est définie la fonction zêta de Riemann pour \(\alpha > 1\) ?

Par \(\zeta(\alpha) = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^\alpha}\).

Quelle valeur spéciale prend la fonction zêta de Riemann en 2 ?

\(\zeta(2) = \frac{\pi^2}{6}\).

Qu'impose la convergence d'une série à termes positifs sur ses sommes partielles ?

Les sommes partielles sont croissantes et majorées.

Quelle condition sur $u_n$ et $v_n$ garantit la convergence de $extstyleigl( extstyleigl)igr)$ si $extstyleigl( extstyleigl)igr)$ converge ?

Si $0\\le u_n \\le v_n$ à partir d'un certain rang et $extstyleigl( extstyleigl)igr)$ converge, alors $extstyleigl( extstyleigl)igr)$ converge.

Que peut-on conclure si $0\le u_n\le v_n$ et $extstyleigl( extstyleigl)igr)$ diverge ?

Alors $extstyleigl( extstyleigl)igr)$ diverge aussi.

Que signifie $u_n \sim v_n$ pour la nature des séries $extstyleigl( extstyleigl)igr)$ et $extstyleigl( extstyleigl)igr)$ ?

Elles ont la même nature si $v_n$ est positive à partir d'un certain rang.

Qu'est-ce qu'une série absolument convergente ?

Une série dont la série des valeurs absolues converge.

Quelle propriété relie convergence absolue et convergence simple ?

Toute série absolument convergente est convergente.

Quelle condition sur $u_n$ et $v_n$ assure la convergence absolue de $\\sum u_n$ ?

Si $u_n=O(v_n)$ avec $v_n\ge0$ et $\sum v_n$ converge, alors $\sum u_n$ converge absolument.

Quelle condition suffit pour montrer la convergence d'une série par une série de Riemann ?

Trouver $\alpha>1$ tel que $u_n=O(1/n^\alpha)$.

Qu'est-ce qu'une série alternée ?

Une série dont les termes changent de signe successivement.

Quelle condition assure la convergence d'une série alternée ?

La suite des modules est décroissante et tend vers zéro.

Quel est le signe de la somme d'une série alternée selon le critère ?

Le signe du premier terme.

Quelle inégalité vérifie la somme d'une série alternée ?

La somme est inférieure ou égale au module du premier terme considéré.

Quelle inégalité vérifie le reste d'une série alternée ?

Le reste est inférieur ou égal au module du terme suivant.

Quel est le signe du reste d'une série alternée ?

Le même que celui de son premier terme.

Quelle condition doit remplir f pour la comparaison série-intégrale ?

f doit être continue, positive et décroissante sur [n₀,+∞[.

Quelle relation existe entre la série Σf(n) et l'intégrale ∫f(t)dt selon la comparaison série-intégrale ?

Elles ont la même nature (convergence ou divergence).

Comment obtient-on la comparaison série-intégrale ?

En encadrant chaque intégrale sur [k,k+1] entre f(k+1) et f(k) puis en sommant.

Quand la limite de ∫(1/t^α) dt de t₀ à x est-elle finie ?

Si et seulement si α > 1.

Que dit le critère de Riemann sur la série Σ1/n^α ?

Elle converge si et seulement si α > 1.