Quiz: Variables aléatoires discrètes et continues — 10 domande

1. Qu'est-ce qu'un couple aléatoire discret dans le contexte des variables à deux dimensions ?

A. Un ensemble infini de points dans R² avec une loi continue associée

B. Un ensemble fini ou dénombrable de points dans R² avec une loi de masse P(x1,x2)

C. Une variable aléatoire discrète dans R¹ avec une loi de probabilité

D. Une seule variable aléatoire continue dans R avec une densité associée

Answer: (B)

Spiegazione

Un couple aléatoire discret est constitué d'un ensemble fini ou dénombrable de points dans R², avec une loi de masse P(x1,x2) qui attribue une probabilité à chaque point. Par exemple, lors de deux lancers de dé, le couple (résultat du premier dé, résultat du second dé) appartient à un ensemble fini de 36 éléments, chacun ayant une probabilité de 1/36.

2. Quelle est la définition d'un couple aléatoire discret selon la fiche de révision ?

A. Une loi de masse P(x₁,x₂) sur un ensemble fini ou dénombrable

B. Une densité continue f(x) sur un intervalle [a,b]

C. Une loi de probabilité continue avec densité f(x)

D. Un vecteur de variables aléatoires indépendantes

Answer: (A)

Spiegazione

Un couple aléatoire discret est défini par une loi de masse P(x₁,x₂) sur un ensemble fini ou dénombrable, ce qui permet de modéliser deux variables aléatoires discrètes conjointes.

3. Comment calcule-t-on une loi marginale à partir d'une loi de masse P(x1,x2) ?

A. En divisant P(x1,x2) par la loi conditionnelle

B. En sommant P(x1,x2) sur toutes les valeurs de x2 pour un x1 donné

C. En intégrant P(x1,x2) par rapport à x2

D. En multipliant P(x1,x2) par la loi marginale de l'autre variable

Answer: (B)

Spiegazione

La loi marginale P_X1(xi) est obtenue en sommant la loi de masse P(xi,xj) sur toutes les valeurs possibles de xj. Cela revient à agréger la probabilité totale associée à un x1 donné, indépendamment de x2. La formule est P_X1(xi) = ∑_j P(xi,xj).

4. Comment calcule-t-on une loi marginale à partir de la loi de masse d'un couple discret ?

A. En sommant la loi de masse P(x₁,x₂) sur la variable x₂ pour obtenir P_X₁(x₁) et sur x₁ pour P_X₂(x₂)

B. En intégrant la densité f(x) sur tout l’espace possible

C. En dérivant la loi de masse par rapport à x₁ ou x₂

D. En divisant la loi de masse par le total des probabilités

Answer: (A)

Spiegazione

Les lois marginales se calculent en sommant la loi de masse P(x₁,x₂) sur l'autre variable, permettant d’obtenir la distribution d’une seule variable.

5. Quelle est la condition pour que deux variables aléatoires discrètes X1 et X2 soient indépendantes ?

A. P(xi,xj) = P_X1(xi) + P_X2(xj)

B. P(xi,xj) = P_X1(xi) × P_X2(xj) pour tous i,j

C. P(xi,xj) = P(xi) + P(xj)

D. P_X1(xi) = P_X2(xj) pour tous i,j

Answer: (B)

Spiegazione

Deux variables discrètes X1 et X2 sont indépendantes si et seulement si leur loi de masse conjointe se factorise en le produit de leurs lois marginales, c'est-à-dire P(xi,xj) = P_X1(xi) × P_X2(xj) pour tous i,j. Cela signifie que la connaissance de l'une n'apporte aucune information sur l'autre.

6. Quelle condition doit être vérifiée pour que deux variables discrètes X₁ et X₂ soient indépendantes ?

A. P(x₁,x₂) = P_X₁(x₁) + P_X₂(x₂) pour tout (x₁,x₂)

B. P(x₁,x₂) = P_X₁(x₁) × P_X₂(x₂) pour tout (x₁,x₂)

C. P_X₁(x₁) = P_X₂(x₂) pour tout (x₁,x₂)

D. P(x₁,x₂) = P_X₁(x₁) - P_X₂(x₂) pour tout (x₁,x₂)

Answer: (B)

Spiegazione

Deux variables sont indépendantes si et seulement si leur loi conjointe est le produit de leurs lois marginales, c’est-à-dire P(x₁,x₂)=P_X₁(x₁)×P_X₂(x₂).

7. Parmi les lois discrètes usuelles, laquelle est caractérisée par un paramètre p et modélise un nombre d’échecs avant la premier réussite ?

A. Loi binomiale n,p

B. Loi géométrique p

C. Loi Poisson λ

D. Loi hypergéométrique N,B,n

Answer: (B)

Spiegazione

La loi géométrique modélise le nombre d’échecs avant la première réussite dans une série d’épreuves de Bernoulli avec paramètre p.

8. Quelle formule exprime l’espérance d’une variable continue X de densité f(x) ?

A. E[X]=∫ x f(x) dx sur tout ℝ

B. E[X]=∑ P(X=x)

C. E[X]=∫ f(x) dx sur [a,b]

D. E[X]=f(E[X])

Answer: (A)

Spiegazione

L’espérance d’une variable continue X est donnée par l’intégrale de x multiplié par la densité f(x), soit E[X]=∫ x f(x) dx.

9. Selon la fiche, quelles lois continues peuvent être approchées par la normale lorsque n ou λ sont grands ?

A. Loi uniforme et loi binomiale

B. Loi hypergéométrique, binomiale, Poisson, normale

C. Loi de Bernoulli et loi géométrique

D. Loi exponentielle et loi gamma

Answer: (B)

Spiegazione

Les lois hypergéométrique, binomiale, Poisson et normale peuvent être approximées par la loi normale lorsque n ou λ sont grands, selon des règles d’approximation.

10. Quelle propriété du variance V(aX+b) est mentionnée dans la fiche ?

A. V(aX+b)=aV(X)+b

B. V(aX+b)=a²V(X)

C. V(aX+b)=V(X)/a + b

D. V(aX+b)=a²V(X)+b²

Answer: (B)

Spiegazione

La variance V(aX+b) se calcule comme a²V(X), car la variance est invariante par translation et homothétie selon le carré du coefficient a.