Ficha de revisão: Maîtrise des proportions et évolutions statistiques

📋 Plan du Cours

1. Proportions et sous-populations
2. Proportion : expression fraction décimale pourcentage
3. Complémentaire et proportion du complément
4. Intersections et unions de sous-populations
5. Évolutions : variation absolue et relative
6. Coefficient multiplicateur et taux d’évolution
7. Évolutions successives et coefficient global
8. Évolution réciproque et taux opposé

📖 1. Proportions et sous-populations

🔑 Notions clés & Définitions

• Population : Une population est un ensemble d’individus ou d’éléments considéré dans un contexte donné.
• Sous-population : Une sous-population est une partie d’une population, donc un ensemble inclus dans la population de référence.
• Inclusion A ⊂ E : L’écriture A ⊂ E signifie que tous les éléments de A appartiennent aussi à E.
• Effectif nA : L’effectif d’une sous-population A est le nombre d’individus ou d’éléments qui composent A.
• Effectif nE : L’effectif d’une population E est le nombre d’individus ou d’éléments qui composent E.

📝 Points essentiels

• Une sous-population A est toujours une partie de la population E, donc on a A ⊂ E.
• L’effectif sert à compter : nA pour A et nE pour E.
• La proportion d’une sous-population se calcule à partir de nA et nE.
• Les sous-populations sont des ensembles, donc on peut ensuite utiliser intersections et unions.
• Les exemples du cours utilisent des ensembles d’élèves ou de catégories (âge, sexe, etc.) pour modéliser les sous-populations.

💡 Astuce mémo

A ⊂ E : pense à « A est dans E » (tous les éléments de A sont aussi dans E).

📖 2. Proportion : expression fraction décimale pourcentage

🔑 Notions clés & Définitions

• Proportion p(A) : La proportion d’une sous-population A dans une population E est le quotient p = nA/nE.
• Proportion : Une proportion est un nombre réel compris entre 0 et 1 qui mesure la part de A dans E.
• Expression fractionnaire : Une proportion peut s’écrire sous forme de fraction, comme nA/nE.
• Expression décimale : Une proportion peut s’écrire sous forme décimale, par exemple 0.40.
• Expression en pourcentage : Une proportion peut s’exprimer en pourcentage, par exemple 40% pour 0.40.

📝 Points essentiels

• La formule de la proportion est p = nA/nE, où nA et nE sont des effectifs.
• Une proportion est comprise entre 0 et 1, car elle représente une part.
• Passage décimal → pourcentage : multiplier par 100, donc 0.40 = 40%.
• Passage pourcentage → décimal : diviser par 100, donc 40% = 0.40.
• Le cours illustre la proportion avec des données de médailles et avec une classe de 35 élèves (p = 0.40).
• Le nombre d’éléments de A se retrouve en utilisant p = nA/nE, donc nA = p×nE (quand nE est connu).

💡 Astuce mémo

0.40 ↔ 40% : « on passe au pourcentage en ×100 ».

📖 3. Complémentaire et proportion du complément

🔑 Notions clés & Définitions

• Complémentaire A : Le complémentaire de A dans E, noté A, est l’ensemble des éléments de E qui n’appartiennent pas à A.
• Complémentaire dans E : Le complémentaire est défini par rapport à la population de référence E, pas dans l’absolu.
• Proportion p(A) : La proportion p(A) mesure la part de A dans la population E.
• Proportion p(A) : La proportion p(A) mesure la part du complémentaire A dans la population E.

📝 Points essentiels

• Le complémentaire A regroupe les individus de E qui ne sont pas dans A.
• On a la relation p(A) + p(A) = 1.
• La propriété donne directement 1 − p(A) = p(A).
• Si p(A) est connue, p(A) se calcule sans autre information grâce à 1 − p(A).
• L’exemple du bus : si la proportion prenant le bus vaut 0.7, alors la proportion ne prenant pas le bus vaut 0.3.
• Le complémentaire dépend de E : changer la population de référence change le complémentaire.

💡 Astuce mémo

Complémentaire = « reste à 1 » : p(A) = 1 − p(A).

📖 4. Intersections et unions de sous-populations

🔑 Notions clés & Définitions

• Intersection A ∩ B : L’intersection A ∩ B est l’ensemble des éléments appartenant à la fois à A et à B.
• Union A ∪ B : L’union A ∪ B est l’ensemble des éléments appartenant à A ou à B (ou aux deux).
• Effectif nA∩B : L’effectif de l’intersection A ∩ B est le nombre d’éléments qui sont à la fois dans A et dans B.
• Effectif nA∪B : L’effectif de l’union A ∪ B est le nombre d’éléments qui sont dans A ou dans B.

📝 Points essentiels

• A ∩ B correspond à « simultanément A et B ».
• A ∪ B correspond à « au moins l’un des deux » : A ou B.
• Le cours associe nA∩B à l’effectif de A ∩ B et nA∪B à l’effectif de A ∪ B.
• Les proportions p(A ∩ B) et p(A ∪ B) se déduisent ensuite des effectifs correspondants.
• L’exemple avec jeunes de 16 ans (A) et femmes (B) donne p(A ∩ B) = 0.0062.
• L’exemple indique aussi p(A ∪ B) (valeur non recopiée ici), montrant que l’union se traite comme une proportion d’effectif.

💡 Astuce mémo

∩ = « et », ∪ = « ou ».

📖 5. Évolutions : variation absolue et relative

🔑 Notions clés & Définitions

• Valeur initiale Vi : La valeur initiale Vi est la grandeur au départ d’une évolution.
• Valeur finale Vf : La valeur finale Vf est la grandeur à la fin de l’évolution.
• Variation absolue Vf − Vi : La variation absolue est la différence entre la valeur finale et la valeur initiale.
• Taux d’évolution t : Le taux d’évolution est le quotient (Vf − Vi)/Vi qui mesure l’évolution relative.

📝 Points essentiels

• La variation absolue de Vi à Vf vaut Vf − Vi.
• Le taux d’évolution t vaut (Vf − Vi)/Vi.
• Si t > 0, l’évolution est une augmentation.
• Si t < 0, l’évolution est une diminution.
• Le cours utilise des exemples avec des ventes (40 à 150) pour calculer variation absolue et taux.
• Les valeurs Vi et Vf sont supposées positives dans le cadre du cours.

💡 Astuce mémo

t = (Vf − Vi)/Vi : « on divise par l’ancien » pour obtenir le relatif.

📖 6. Coefficient multiplicateur et taux d’évolution

🔑 Notions clés & Définitions

• Coefficient multiplicateur CM : Le coefficient multiplicateur CM est le facteur qui relie la valeur finale à la valeur initiale via Vf = CM×Vi.
• Formule Vf = (1 + t)×Vi : La valeur finale s’obtient en multipliant la valeur initiale par (1 + t), où t est le taux d’évolution.
• CM = 1 + t : Le coefficient multiplicateur est égal à 1 + t.
• Augmentation CM > 1 : Un coefficient multiplicateur supérieur à 1 correspond à une augmentation de la grandeur.
• Stabilité CM = 1 : Un coefficient multiplicateur égal à 1 correspond à une grandeur inchangée.

📝 Points essentiels

• Le cours impose que t soit supérieur à −1.
• La formule d’évolution est Vf = (1 + t)×Vi.
• On définit CM = 1 + t.
• Si CM > 1 alors l’évolution est une augmentation.
• Si CM < 1 alors l’évolution est une diminution.
• Si CM = 1 alors l’évolution est stable.

💡 Astuce mémo

CM = 1 + t : « CM mesure le facteur », t mesure « le gain relatif ».

📖 7. Évolutions successives et coefficient global

🔑 Notions clés & Définitions

• Coefficient multiplicateur global CMG : Le coefficient multiplicateur global est le produit des coefficients multiplicateurs des évolutions successives.
• Évolutions successives : Des évolutions successives sont des changements appliqués l’un après l’autre à une même grandeur.
• Coefficient multiplicateur CM1 : CM1 est le coefficient multiplicateur de la première évolution.
• Coefficient multiplicateur CM2 : CM2 est le coefficient multiplicateur de la deuxième évolution.
• Taux d’évolution global tG : Le taux d’évolution global est le taux correspondant au passage de la valeur initiale à la valeur finale.

📝 Points essentiels

• Si deux évolutions successives ont pour coefficients CM1 puis CM2, alors CMG = CM1×CM2.
• Le taux global vérifie tG = CMG − 1.
• Le coefficient multiplicateur global s’obtient sans repasser par les variations absolues.
• Le cours relie directement le taux global au coefficient global par une simple soustraction de 1.
• L’exemple du beurre combine une baisse de 24% puis une hausse de 15% pour former CMG.
• Le taux global se déduit ensuite de CMG via tG = CMG − 1.

💡 Astuce mémo

Succession = produit : CMG = CM1×CM2, puis tG = CMG − 1.

📖 8. Évolution réciproque et taux opposé

🔑 Notions clés & Définitions

• Évolution réciproque : L’évolution réciproque inverse le sens du passage entre valeur initiale et valeur finale.
• Coefficient multiplicateur réciproque CM′ : Le coefficient multiplicateur réciproque est l’inverse du coefficient multiplicateur initial.
• taux opposé t′ : Le taux d’évolution réciproque t′ correspond au changement inverse et n’est pas simplement −t.
• Relation CM′ = 1/CM : Le coefficient multiplicateur réciproque vérifie CM′ = 1/CM.

📝 Points essentiels

• Si une évolution de Vi à Vf a pour coefficient CM, alors l’évolution réciproque de Vf à Vi a pour coefficient CM′ = 1/CM.
• Le taux réciproque vaut t′ = CM′ − 1.
• Le sens inverse transforme un facteur multiplicatif en son inverse.
• Le signe du taux réciproque dépend de CM : une hausse donne un taux réciproque négatif.
• Exemple : une hausse de 15% donne t = 0.15 donc CM = 1.15.
• Dans l’exemple, CM′ = 1/1.15 ≈ 0.8696 et t′ ≈ −0.1304.

💡 Astuce mémo

Réciproque = inverse : CM′ = 1/CM, donc le taux devient CM′ − 1.

📊 Tableaux de synthèse

Décimal et pourcentage d’une proportion

Décimal	Pourcentage	Lien
0.40	40%	×100
0.0062	0.62%	×100

Sens d’une évolution via CM

CM	t	Interprétation
CM > 1	t > 0	augmentation
CM = 1	t = 0	stabilité
CM < 1	t < 0	diminution

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre la proportion p = nA/nE avec un pourcentage : 0.40 correspond à 40%, pas à 0.40%.
2. Oublier que le complémentaire dépend de la population E : changer E change A et donc p(A).
3. Mélanger ∩ et ∪ : ∩ signifie « et », ∪ signifie « ou ».
4. Prendre la variation absolue comme un taux : Vf − Vi n’est pas (Vf − Vi)/Vi.
5. Se tromper de formule entre t et CM : CM = 1 + t et Vf = CM×Vi.
6. Pour des évolutions successives, additionner les taux au lieu de multiplier les coefficients multiplicateurs.

✅ Checklist Examen

1. Savoir définir population, sous-population et interpréter A ⊂ E.
2. Savoir calculer une proportion p = nA/nE et vérifier qu’elle est entre 0 et 1.
3. Savoir convertir une proportion entre forme décimale et pourcentage (×100 ou ÷100).
4. Savoir déterminer le complémentaire A et calculer p(A) = 1 − p(A).
5. Savoir interpréter et utiliser A ∩ B (et) et A ∪ B (ou) avec effectifs et proportions.
6. Savoir calculer la variation absolue Vf − Vi et le taux t = (Vf − Vi)/Vi.
7. Savoir relier t et CM : CM = 1 + t et Vf = (1 + t)×Vi, puis interpréter le signe via CM.
8. Savoir calculer un coefficient multiplicateur global CMG = CM1×CM2 et en déduire tG = CMG − 1.
9. Savoir calculer l’évolution réciproque : CM′ = 1/CM et t′ = CM′ − 1, avec un exemple numérique.