Produit scalaire : propriétés et applications

📋 Plan du Cours

1. Définitions du produit scalaire
2. Calculs avec cosinus
3. Propriétés du produit scalaire
4. Applications du produit scalaire
5. Vecteur normal et équation de droite
6. Equation de cercle et caractéristiques

📖 1. Définitions du produit scalaire

🔑 Notions clés & Définitions

Produit scalaire : Le produit scalaire de deux vecteurs non nuls $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ est un nombre réel qui peut être défini de plusieurs manières. Selon AUTEUR (date), il correspond à la projection orthogonale d’un vecteur sur un autre, ou peut être calculé par la somme des produits de leurs coordonnées dans un repère orthonormé. La norme d’un vecteur $\overrightarrow{u}$, notée $\|\overrightarrow{u}\|$, est le réel défini par la longueur du segment correspondant.

Norme d'un vecteur : La norme $\left\|\overrightarrow{u}\right\|$ d’un vecteur $\overrightarrow{u}$ est la longueur du segment $\overrightarrow{AB}$ associé, c’est-à-dire la distance entre ses points d’origine et d’arrivée.

Angle entre deux vecteurs : La mesure de l’angle formé par deux vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ est notée $\widehat{(\overrightarrow{u}; \overrightarrow{v})}$. Elle est liée au produit scalaire par la formule :
$\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = \left\|\overrightarrow{u}\right\| \times \left\|\overrightarrow{v}\right\| \times \cos \widehat{(\overrightarrow{u}; \overrightarrow{v})}$