Analyse des fonctions continues et en escalier

📋 Plan du Cours

1. Continuité et continuité uniforme
2. Support d’une subdivision
3. Subdivision plus fine et réunion
4. Fonctions en escalier et subdivision adaptée
5. Structure des fonctions en escalier
6. Fonctions continues par morceaux et subdivision adaptée
7. Stabilité des fonctions continues par morceaux
8. Approximation uniforme par des fonctions en escalier
9. Construction de l’intégrale des fonctions en escalier
10. Intégrale des fonctions continues par morceaux
11. Premières propriétés de l’intégrale
12. Primitives et définition sur un intervalle

📖 1. Continuité et continuité uniforme

🔑 Notions clés & Définitions

• Continuité sur un intervalle : La continuité sur un intervalle signifie que la variation de f(x) peut être rendue arbitrairement petite près de chaque point a, en choisissant un η dépendant de a et de ε.
• Uniforme continuité : L’uniforme continuité sur un intervalle signifie que la variation de f(x) peut être rendue arbitrairement petite pour tous les points x,y, avec un même η valable pour tout l’intervalle.
• Intervalle non réduit à un point : Un intervalle non réduit à un point est un intervalle non vide qui contient au moins deux réels distincts, condition utilisée pour formuler l’uniforme continuité.
• Fonction f : I → K : Une fonction f : I → K est une application définie sur un intervalle I et à valeurs dans K, où K est un ensemble de codomain (souvent C ou R).

📝 Points essentiels