Ficha de revisão: Analyse des fonctions continues et en escalier

📋 Plan du Cours

1. Continuité et continuité uniforme
2. Support d’une subdivision
3. Subdivision plus fine et réunion
4. Fonctions en escalier et subdivision adaptée
5. Structure des fonctions en escalier
6. Fonctions continues par morceaux et subdivision adaptée
7. Stabilité des fonctions continues par morceaux
8. Approximation uniforme par des fonctions en escalier
9. Construction de l’intégrale des fonctions en escalier
10. Intégrale des fonctions continues par morceaux
11. Premières propriétés de l’intégrale
12. Primitives et définition sur un intervalle

📖 1. Continuité et continuité uniforme

🔑 Notions clés & Définitions

• Continuité sur un intervalle : La continuité sur un intervalle signifie que la variation de f(x) peut être rendue arbitrairement petite près de chaque point a, en choisissant un η dépendant de a et de ε.
• Uniforme continuité : L’uniforme continuité sur un intervalle signifie que la variation de f(x) peut être rendue arbitrairement petite pour tous les points x,y, avec un même η valable pour tout l’intervalle.
• Intervalle non réduit à un point : Un intervalle non réduit à un point est un intervalle non vide qui contient au moins deux réels distincts, condition utilisée pour formuler l’uniforme continuité.
• Fonction f : I → K : Une fonction f : I → K est une application définie sur un intervalle I et à valeurs dans K, où K est un ensemble de codomain (souvent C ou R).

📝 Points essentiels

• Pour la continuité en a, on impose ∀ε>0, ∃η>0 tel que si |x−a|≤η alors |f(x)−f(a)|≤ε.
• La continuité est formulée point par point : le η peut dépendre du point a choisi.
• Pour l’uniforme continuité, on impose ∀ε>0, ∃η>0 tel que pour tous x,y∈I, si |x−y|≤η alors |f(x)−f(y)|≤ε.
• L’uniforme continuité est globale : le même η fonctionne simultanément pour tous les couples (x,y) de l’intervalle.
• La définition d’uniforme continuité suppose I non vide et non réduit à un point, pour éviter le cas trivial d’un intervalle singleton.
• Les deux définitions ont une structure similaire (ε puis η puis une condition de distance), mais diffèrent par le rôle de a et par la portée de la quantification sur x,y.

💡 Astuce mémo

Continuité : η dépend de a (près de chaque point). Uniforme continuité : η ne dépend pas de a (même contrôle partout).

📖 2. Support d’une subdivision

🔑 Notions clés & Définitions

• Continuité : La continuité d’une fonction en un point impose que les valeurs de la fonction restent proches quand l’entrée reste proche de ce point.
• Continuité uniforme : La continuité uniforme impose qu’un même voisinage en entrée (dépendant seulement de ε) contrôle l’écart des images pour tous les points de l’intervalle.
• Intervalle : Un intervalle est un sous-ensemble de R tel que, dès que deux points sont dedans, tout ce qui est entre eux est aussi dedans.
• Segment : Un segment est un intervalle de la forme [a,b] avec a et b réels, borné et fermé.
• Convergence de suites : La convergence de deux suites vers une même limite signifie que leurs termes se rapprochent de plus en plus, avec une différence qui tend vers 0.

📝 Points essentiels

• La continuité en a s’écrit avec un η qui dépend de a (et de ε), donc la “qualité” peut varier selon le point considéré.
• La continuité uniforme s’écrit avec un η valable pour tous x,y de I, donc la même taille de voisinage contrôle l’erreur partout sur I.
• Si f est uniformément continue sur I, alors f est continue sur I (implication directe).
• La réciproque est fausse : une fonction peut être continue sans être uniformément continue selon l’intervalle.
• Exemple : √x est uniformément continue sur R+ (on peut choisir η=ε²).
• Contre-exemple : x² est continue sur R mais pas uniformément continue sur R, car l’écart des images peut devenir arbitrairement grand quand x,y s’éloignent vers l’infini.

💡 Astuce mémo

Ponctuel vs uniforme : continuité = “η dépend du point a”, uniforme = “η ne dépend pas de a”.

📖 3. Subdivision plus fine et réunion

🔑 Notions clés & Définitions

• Subdivision d’un segment : Une subdivision d’un segment [a,b] est une suite finie de points a0<a1<…<an avec a0=a et an=b.
• Pas d’une subdivision : Le pas d’une subdivision est la plus grande longueur des intervalles ouverts entre deux points consécutifs de la subdivision.
• Support d’une subdivision : Le support d’une subdivision est l’ensemble des points qui composent la subdivision.
• Subdivision plus fine : Une subdivision σ1 est plus fine qu’une subdivision σ2 si le support de σ2 est inclus dans le support de σ1.
• Réunion de subdivisions : La réunion de deux subdivisions est la subdivision dont le support est l’union des supports des deux subdivisions.

📝 Points essentiels

• Si σ1 est plus fine que σ2, alors σ1 contient tous les points de σ2 et éventuellement d’autres points en plus.
• La subdivision réunion de σ1 et σ2 a pour support Supp(σ1)∪Supp(σ2).
• La réunion de deux subdivisions est plus fine que chacune des deux subdivisions de départ.
• Le support d’une subdivision détermine entièrement la subdivision quand on impose qu’il s’agit d’une subdivision de [a,b] (points ordonnés de gauche à droite).
• Le pas p(σ) mesure la “granularité” de la subdivision via le maximum des longueurs (ai−ai−1).

💡 Astuce mémo

Support = ensemble de points ; plus fin = support plus grand ; réunion = union des supports.

📖 4. Fonctions en escalier et subdivision adaptée

🔑 Notions clés & Définitions

• Subdivision adaptée : Une subdivision est dite adaptée à une fonction en escalier si la fonction est constante sur chaque intervalle ouvert défini par deux points consécutifs de la subdivision.
• E([a, b], R) : E([a, b], R) désigne l’ensemble des fonctions en escalier définies sur [a, b] à valeurs réelles.
• Restriction d’une fonction en escalier : La restriction d’une fonction en escalier à un sous-intervalle [c, d] conserve la structure en escalier sur [c, d].
• Cpm([a, b], K) : Cpm([a, b], K) désigne l’ensemble des fonctions continues par morceaux sur [a, b] à valeurs dans K.
• Fonction continue par morceaux : Une fonction est continue par morceaux s’il existe une subdivision telle que, sur chaque intervalle ouvert entre deux points consécutifs, la restriction soit continue et admette des limites finies aux bornes.

📝 Points essentiels

• Toute subdivision plus fine que σ reste adaptée à la même fonction en escalier.
• Si f et g sont en escalier sur [a, b], alors f+g est encore en escalier sur [a, b].
• Si f est en escalier sur [a, b], alors |f| est encore en escalier sur [a, b].
• La réunion de deux subdivisions adaptées à f et à g est une subdivision adaptée à la fois à f et à g.
• Si f ∈ E([a, b], R) et a ≤ c < d ≤ b, alors la restriction f|[c,d] appartient à E([c, d], R).
• Pour les fonctions continues par morceaux, on ne contrôle pas la continuité aux points de subdivision : les valeurs en ak peuvent correspondre à des discontinuités.

💡 Astuce mémo

Subdivision adaptée = « plateaux constants » : dès que tu raffines, les plateaux restent des plateaux.

📖 5. Structure des fonctions en escalier

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction en escalier : Une fonction en escalier est une fonction définie sur un segment qui est constante par morceaux, avec un nombre fini de changements de valeur.
• Subdivision adaptée : Une subdivision adaptée est une partition du segment qui place tous les points où la fonction en escalier change de valeur.
• Plateaux : Les plateaux sont les valeurs constantes prises par la fonction en escalier sur chaque intervalle entre deux points de la subdivision.
• Intégrale Ia,b : L’intégrale d’une fonction en escalier sur [a,b] est la somme des aires algébriques des rectangles construits à partir des plateaux.
• Aires algébriques : Les aires algébriques sont des aires comptées avec un signe, correspondant au produit valeur du plateau × largeur de l’intervalle.

📝 Points essentiels

• Sur chaque intervalle ]ai,ai+1[, la fonction en escalier vaut une constante hi, et l’intégrale vaut ∑_{i=0}^{n-1} hi(ai+1−ai).
• L’intégrale d’une fonction en escalier ne dépend pas de la subdivision choisie tant qu’elle est adaptée à la fonction.
• Ajouter un point à une subdivision adaptée ne change pas la valeur de la somme, car on ne fait que découper un rectangle en deux rectangles dont les aires algébriques s’additionnent.
• Géométriquement, Ia,b correspond aux aires algébriques des rectangles déterminés par les plateaux et les intervalles entre discontinuités.
• Les valeurs de la fonction aux points de discontinuité (extrémités des plateaux) n’influencent pas l’intégrale, seule la hauteur des plateaux compte.
• L’application f ↦ Ia,b est linéaire sur l’ensemble des fonctions en escalier : Ia,b=λIa,b et Ia,b=Ia,b+Ia,b.

💡 Astuce mémo

Subdivision adaptée = tous les changements de hauteur ; intégrale = somme (hauteur × largeur) avec signe.

📖 6. Fonctions continues par morceaux et subdivision adaptée

🔑 Notions clés & Définitions

• Intégrale sur [a,b] : Notion d’intégration sur un segment, notée avec des bornes et une variable d’intégration explicite.
• Fonction continue par morceaux : Fonction définie sur un segment qui est continue sur chaque sous-intervalle d’une subdivision finie, avec éventuellement des discontinuités en certains points.
• Subdivision adaptée : Découpage de l’intervalle en sous-intervalles choisis pour coller aux variations de la fonction lors de l’approximation par rectangles.
• Sommes de Riemann : Méthode d’approximation de l’intégrale via des sommes de rectangles construites à partir d’une subdivision de l’intervalle.
• Fonction en escalier : Fonction constante par morceaux sur les sous-intervalles d’une subdivision, utilisée comme étape de construction pour définir l’intégrale.

📝 Points essentiels

• L’intégrale d’une fonction continue sur un segment se construit comme limite de sommes d’aires de rectangles sous la courbe, avec un signe selon la position par rapport à l’axe.
• Dans la méthode des rectangles, le pas de la subdivision peut être non constant dans la définition, donc les sous-intervalles n’ont pas forcément la même longueur.
• Pour une fonction constante $f$, on a l’égalité $\int_{[a,b]} f = I_{[a,b]}(f)$ (notation de la section) : l’intégrale vaut la valeur constante multipliée par la longueur de l’intervalle.
• Le symbole $dt$ (ou la variable d’intégration) indique par rapport à quelle variable on intègre, et changer la variable peut changer le résultat.
• Les fonctions continues par morceaux sont proches des fonctions en escalier : elles sont continues sur chaque morceau au lieu d’être constantes sur des plateaux.
• On peut approximer uniformément une fonction continue par des fonctions continues par morceaux, ce qui justifie l’usage de ces classes pour approcher les intégrales (notamment via trapèzes et Simpson).

💡 Astuce mémo

Rectangles → limite : subdivision peut être irrégulière, et la variable d’intégration (dt) ne se remplace pas.

📖 7. Stabilité des fonctions continues par morceaux

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonctions continues par morceaux : Ensemble de fonctions définies sur un segment qui sont continues sauf sur un nombre fini de points.
• Modification en un nombre fini de points : Principe selon lequel changer une fonction seulement en un nombre fini de valeurs ne modifie pas sa valeur d’intégrale sur le segment.
• Fonction en escalier : Fonction constante par morceaux sur une subdivision finie du segment.
• Borne inférieure et borne supérieure : Notions qui permettent d’encadrer une fonction par des inégalités en utilisant des bornes sur chaque sous-intervalle.
• Fonction de signe constant : Fonction qui ne change pas de signe sur tout l’intervalle, donc elle est soit toujours ≥ 0, soit toujours ≤ 0.

📝 Points essentiels

• Si f et g coïncident sauf en un nombre fini de points, alors leurs intégrales sur [a,b] sont égales.
• La preuve repose sur le fait que f−g est nulle sauf en un nombre fini de points, donc c’est une fonction en escalier dont les plateaux sont nuls.
• On peut donc ignorer la valeur de la fonction aux bornes de l’intervalle pour calculer l’intégrale.
• Une fonction continue sur ]a,b[ et prolongeable par continuité en a et b peut être traitée comme une fonction continue sur [a,b] pour l’intégrale.
• Les propriétés d’inégalité se démontrent souvent d’abord pour les fonctions en escalier, puis on raffine avec des bornes inf et sup pour obtenir les deux sens.
• Les résultats de positivité/croissance restent vrais si les inégalités sont vraies sauf en un nombre fini de points, grâce à la stabilité par modification finie.

💡 Astuce mémo

Escalier nul = intégrale inchangée : changer finitement de valeurs ne bouge pas l’aire.

📖 8. Approximation uniforme par des fonctions en escalier

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction en escalier : Une fonction en escalier est une fonction définie par morceaux constants sur une partition de l’intervalle.
• Approximation uniforme : Une approximation uniforme consiste à approcher une fonction par une suite de fonctions telles que l’erreur maximale sur l’intervalle tende vers 0.
• Continuité sur un intervalle : Une fonction continue sur un intervalle ne présente pas de sauts ni de ruptures, ce qui permet de contrôler ses variations.
• Intégrale de Riemann : L’intégrale de Riemann est définie comme limite d’intégrales de fonctions en escalier associées à des partitions.

📝 Points essentiels

• Pour approximer une fonction continue, on découpe l’intervalle en petits sous-intervalles et on remplace la fonction par des constantes sur chaque morceau.
• L’approximation uniforme vise à contrôler la différence entre la fonction et son approximation sur tout l’intervalle, pas seulement en moyenne.
• La continuité garantit que sur des sous-intervalles suffisamment petits, la fonction varie peu, ce qui rend l’erreur de l’approximation en escalier petite partout.
• Dans la construction de l’intégrale, les fonctions en escalier jouent le rôle d’objets simples dont on sait calculer l’intégrale.
• Le contrôle uniforme de l’erreur permet de justifier le passage à la limite dans la définition de l’intégrale via des approximations en escalier.
• Attention : une erreur fréquente est de confondre l’ordre des notions (intégrale vs primitive) ; ici, l’intégrale est construite à partir d’approximations, pas l’inverse.

💡 Astuce mémo

Découper → remplacer par des constantes → contrôler l’erreur partout (uniforme) → passer à la limite (intégrale).

📖 9. Construction de l’intégrale des fonctions en escalier

🔑 Notions clés & Définitions

• Intégrale : Entité mathématique définie indépendamment des primitives, qui permet ensuite de donner un sens rigoureux aux primitives via le théorème fondamental.
• Primitive : Fonction dont la dérivée redonne la fonction étudiée, et dont l’existence dépend du fait que l’intégrale a déjà un sens.
• Théorème fondamental de l’intégration : Résultat reliant dérivation et intégration, qui justifie l’existence et l’usage des primitives à partir de l’intégrale.
• Fonction en escalier : Fonction construite par morceaux constants sur des sous-intervalles, utilisée pour bâtir l’intégrale de façon concrète.
• Intégrale de Riemann (construction) : Construction de l’intégrale à partir de sommes associées à des approximations par fonctions en escalier.

📝 Points essentiels

• Les primitives ne sont pas des objets premiers : l’intégrale est définie avant, et les primitives sont justifiées ensuite par le théorème fondamental.
• Dire que l’intégrale est une primitive est une erreur conceptuelle : cela inverse l’ordre logique et mène à de mauvaises manipulations.
• Toute fonction continue sur un intervalle admet des primitives sur cet intervalle.
• Expression de l’intégrale via une primitive : si $F$ est une primitive de $f$ sur $I$, alors pour $a,b\in I$, $\int_a^b f(t)\,dt=F(b)-F(a)$.
• Si $F$ et $G$ sont deux primitives de la même fonction sur un intervalle, alors elles diffèrent d’une constante.
• Attention aux raccourcis : on ne peut pas réduire systématiquement un calcul d’intégrale à une recherche de primitive explicite, car la plupart des fonctions n’ont pas de primitive connue.

💡 Astuce mémo

Ordre logique : Intégrale d’abord → Primitive ensuite (TFI).

📖 10. Intégrale des fonctions continues par morceaux

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction continue par morceaux : Une fonction continue par morceaux est définie sur un intervalle en étant continue sur chaque sous-intervalle d’une partition finie.
• Intégrale définie : Une intégrale définie est une valeur associée à une fonction sur un intervalle, même quand on ne sait pas trouver de primitive.
• Primitive : Une primitive d’une fonction est une fonction dont la dérivée est exactement cette fonction sur l’intervalle considéré.
• Intégration par parties : L’intégration par parties est une méthode qui transforme une intégrale de produit en une autre intégrale plus simple via une dérivation et une primitive.

📝 Points essentiels

• La “primitivation” n’existe pas en général : on ne peut pas compter sur l’existence d’une primitive pour calculer une intégrale.
• Même si une primitive est introuvable, l’intégrale peut exister et être parfaitement définie.
• Pour calculer une intégrale, l’idée est souvent de réécrire l’expression pour faire apparaître une forme dont on sait intégrer.
• En intégration par parties, si $u,v$ sont de classe $C^1$, alors $\int_a^b u'v=[uv]_a^b-\int_a^b uv'$.
• L’intégration par parties repose sur le fait que $uv$ est une primitive de $u'v+uv'$.

💡 Astuce mémo

Primitive introuvable ≠ intégrale impossible : on calcule autrement (souvent par parties ou par changement de variable).

📖 11. Premières propriétés de l’intégrale

🔑 Notions clés & Définitions

• Relation de Chasles : Propriété de décomposition qui permet d’écrire une intégrale sur un intervalle comme somme d’intégrales sur des sous-intervalles adjacents.
• Sommes de Riemann : Quantités construites à partir d’une subdivision et de valeurs de f, qui approchent l’intégrale par des sommes de rectangles ou apparentées.
• Sommes de Riemann à droite : Somme de Riemann où chaque rectangle utilise la valeur de f au bord droit de chaque sous-intervalle.
• Sommes de Riemann à gauche : Somme de Riemann où chaque rectangle utilise la valeur de f au bord gauche de chaque sous-intervalle.
• Formule de Taylor avec reste intégale : Écriture de Taylor où le terme d’ordre n+1 est remplacé par une intégrale portant sur la dérivée d’ordre n+1.

📝 Points essentiels

• Si f est T-périodique, alors pour tout a∈R, ∫{a}^{a+T} f(t)dt = ∫{0}^{T} f(t)dt.
• Par Chasles, ∫{a}^{a+T} f(t)dt se découpe en ∫{a}^{0} f(t)dt + ∫{0}^{T} f(t)dt + ∫{a}^{a+T} f(t)dt puis on regroupe avec un changement de variable.
• Dans la méthode des rectangles, on approxime ∫{a_k}^{a{k-1}} f(t)dt par (a_k-a_{k-1})f(a_k) pour la version à droite.
• Pour une subdivision σ_n de pas constant, on obtient R_n^+ = (b-a)/n ∑{k=1}^{n} f(a_k) et R_n^- = (b-a)/n ∑{k=0}^{n-1} f(a_k).
• Si f est continue par morceaux sur [a,b], alors les suites (R_n^+){n≥1} et (R_n^-){n≥1} convergent vers ∫_{a}^{b} f(t)dt.
• Si f est C^1, une majoration donne |∫{a}^{b} f - R_n^+| ≤ (b-a)^2/n · sup{[a,b]}|f'|, et l’étude est identique pour R_n^- .

💡 Astuce mémo

Chasles = découper puis recoller ; Riemann = rectangles (gauche/droite) ; Taylor = polynôme + reste sous forme d’intégrale.

📖 12. Primitives et définition sur un intervalle

🔑 Notions clés & Définitions

• Primitive : Une primitive de $f$ sur $I$ est une fonction $F$ dérivable sur $I$ telle que $F'=f$.
• Primitive s’annulant en a : La primitive de $f$ sur $I$ qui vérifie $F(a)=0$ est unique et s’écrit $F(x)=\int_a^x f(t)\,dt$.
• Formule de Taylor avec reste intégral : La formule de Taylor avec reste intégral exprime $f(x)$ comme une somme de Taylor en $a$ plus un reste sous forme d’intégrale exacte sur tout $x\in I$.
• Inégalité de Taylor-Lagrange : L’inégalité de Taylor-Lagrange borne l’erreur entre $f(x)$ et le polynôme de Taylor d’ordre $n$ par une quantité en $|x-a|^{n+1}$.
• Taylor-Young : La formule de Taylor-Young donne un développement en $a$ avec un reste négligeable $o((x-a)^n)$ quand $x\to a$.

📝 Points essentiels

• Si $f$ est de classe $C^{n+2}$, alors pour tout $x\in I$ on a une égalité de Taylor avec reste intégral : $f(x)=\sum_{k=0}^{n+1}\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k+\int_a^x\frac{f^{(n+2)}(t)}{(n+1)!}(x-t)^{n+1}dt$.
• Le reste intégral de Taylor est une égalité valable pour tout $x$ de l’intervalle, contrairement à Taylor-Young qui est asymptotique au voisinage de $a$.
• Si $f\in C^{n+1}(I)$ et $f^{(n+1)}$ est bornée, alors pour tout $x\in I$ : $\left|f(x)-\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k\right|\le M\,(n+1)!\,|x-a|^{n+1}$ avec $M=\sup_{I}|f^{(n+1)}|$.
• Pour prouver l’inégalité de Taylor-Lagrange, on traite séparément les cas $x\ge a$ et $x\le a$ car le signe dans l’intégrale dépend de l’ordre des bornes.
• Si $I$ est un segment et $f^{(n+1)}$ est continue, alors $f^{(n+1)}$ est automatiquement bornée, ce qui permet d’appliquer Taylor-Lagrange.
• Taylor-Young : si $f\in C^n(I)$, alors $f(x)=\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k+o((x-a)^n)$ quand $x\to a$.

💡 Astuce mémo

Égalité vs asymptote : reste intégral = vrai partout sur $I$ ; Taylor-Young = seulement quand $x\to a$.

📊 Tableaux de synthèse

Continuité simple vs continuité uniforme

Notion	Quantification	Dépendance de η
Continuité	∀ε>0, ∀a∈I, ∃η>0 tel que |x−a|≤η ⇒ |f(x)−f(a)|≤ε	η dépend de a (et de ε)
Continuité uniforme	∀ε>0, ∃η>0 tel que ∀x,y∈I, |x−y|≤η ⇒ |f(x)−f(y)|≤ε	η ne dépend pas de a (seulement de ε et de I)

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre la continuité uniforme avec la continuité simple : dans l’uniforme, le même η doit marcher pour tous les couples x,y de I.
2. Croire que la réciproque est vraie : une fonction continue n’est pas forcément uniformément continue (dépend de l’intervalle).
3. Oublier que la continuité uniforme (Heine) s’énonce sur un segment : sur un intervalle ouvert, des “pentes trop fortes” peuvent apparaître.
4. Se tromper sur les fonctions en escalier/cpm : la valeur aux points de subdivision n’est pas contrôlée (discontinuités possibles pour les cpm).
5. Penser que l’intégrale se calcule en cherchant une primitive : l’intégrale est définie avant, et la primitive n’est justifiée qu’ensuite (TFI).
6. Manipuler mal les bornes dans les inégalités avec intégrales : avec Chasles/extension formelle, des signes peuvent apparaître si l’ordre des bornes change.
7. Confondre “f non nulle” et “f ne s’annule pas” : pour une fonction continue, ∫ f =0 n’implique pas f≡0 sans hypothèse de signe constant.

✅ Checklist Examen

1. Énoncer et utiliser la définition de la continuité en a puis celle de la continuité uniforme (quantificateurs et rôle de η).
2. Savoir appliquer : uniforme continue ⇒ continue, et rappeler que la réciproque est fausse (avec un contre-exemple du cours).
3. Utiliser la caractérisation séquentielle de la continuité uniforme : si xn−yn→0 alors f(xn)−f(yn)→0, et savoir construire la contraposée.
4. Reconnaître un cas où la continuité uniforme est garantie : segment (Heine) ou fonction lipschitzienne (donner l’idée η=ε/λ).
5. Définir une subdivision, son support, son pas, et savoir comparer “plus fine” et “réunion” de subdivisions.
6. Définir une fonction en escalier et une subdivision adaptée ; savoir que toute subdivision plus fine reste adaptée et que la valeur aux points de subdivision n’importe pas.
7. Définir une fonction continue par morceaux (cpm) et préciser ce qui est contrôlé : continuité sur les intervalles ouverts et existence de limites finies aux bornes, sans continuité imposée aux points de subdivision.
8. Savoir utiliser l’approximation uniforme : encadrer une fonction continue (ou cpm) par deux fonctions en escalier φ≤f≤ψ avec ψ−φ≤ε, et en déduire |f−φ|≤ε.
9. Construire l’intégrale d’une fonction en escalier : Ia,b=∑ hi(ai+1−ai), et justifier l’indépendance de la subdivision adaptée.
10. Définir l’intégrale d’une cpm via les bornes sup/inf (Φ et Ψ) et savoir interpréter géométriquement comme limite des sommes de rectangles.
11. Maîtriser les premières propriétés : relation de Chasles, linéarité, modification en un nombre fini de points, positivité/croissance, inégalité triangulaire et Cauchy-Schwarz (avec attention aux bornes).
12. Savoir relier intégrales et primitives : TFI (primitive de x↦∫_a^x f), formule ∫_a^b f = F(b)−F(a), et rappeler l’ordre logique intégrale puis primitive.
13. Savoir appliquer les techniques de calcul : intégration par parties, changement de variables (avec u C1 et bornes), et les propriétés géométriques (translation, parité, périodicité).
14. Utiliser les approximations d’intégrales : sommes de Riemann (gauche/droite) et méthode des trapèzes/Simpson comme améliorations numériques (idée de convergence).