Analyse des fonctions quadratiques et leur forme canonique

📋 Plan du Cours

1. Définition et forme canonique
2. Sommet et sens de variation
3. Discriminant et factorisation

📖 1. Définition et forme canonique

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction du second degré : Fonction qui s’écrit sous la forme $f(x)=ax^2+bx+c$ avec $a$, $b$ et $c$ réels et $a\neq 0$.
• Forme canonique : Écriture d’une fonction du second degré sous la forme $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$.
• Sommet S(α;β) : Point $S(\alpha;\beta)$ de la parabole correspondant au minimum ou maximum selon le signe de $a$.

📝 Points essentiels

• Dans $f(x)=ax^2+bx+c$, le coefficient $a$ est non nul, avec $a$, $b$ et $c$ réels.
• La forme canonique s’obtient avec $\alpha=-\dfrac{b}{2a}$ et $\beta=f(\alpha)$.
• Le sommet $S(\alpha;\beta)$ correspond à la valeur $\beta$ atteinte par $f(x)$ lorsque $x=\alpha$.
• On garde le même $a$ dans $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$ pour décrire l’ouverture de la parabole.

📖 2. Sommet et sens de variation

🔑 Notions clés & Définitions

• Sens de variation : Direction du changement de $f(x)$ quand on s’éloigne du sommet, déterminée par l’ouverture de la parabole.
• Ouverture vers le haut : Configuration d’une parabole quand $a>0$, avec un sommet qui correspond alors à un minimum.
• Ouverture vers le bas : Configuration d’une parabole quand $a<0$, avec un sommet qui correspond alors à un maximum.

📝 Points essentiels