Ficha de revisão: Analyse des Nombres Réels et Suites

📋 Plan du Cours

1. Nombres réels
2. Majorants et minorants
3. Bornes et extrema
4. Propriétés de l'intervalle
5. Propriété de l'Archimède
6. Développement décimal
7. Densité des rationnels
8. Valeur absolue et distance
9. Concepts topologiques
10. Suites numériques
11. Monotonie des suites
12. Suites bornées et convergentes

📖 1. Nombres réels

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre réel (R) : Ensemble des nombres pouvant représenter une quantité continue sur la ligne numérique, incluant rationnels et irrationnels.
• Majorant / Minorant : Un nombre $m$ est un majorant (resp. minorant) d’un ensemble $A \subset R$ si $m \geq a$ (resp. $m \leq a$) pour tout $a \in A$.
• Maximum / Minimum : Élément $M$ (resp. $m$) de $A$ tel que $M \geq a$ (resp. $m \leq a$) pour tout $a \in A$. $M$ est le plus grand (resp. $m$ le plus petit) de $A$.
• Supremum / Infimum : Plus petit majorant $\sup(A)$ (resp. plus grand minorant $\inf(A)$) d’un ensemble $A$, même si $\sup(A) \notin A$.
• Intervalle : Ensemble de la forme $[a, b]$, $[a, b[$, $]a, b]$, $]a, b[$, ou avec infinies, caractérisé par la continuité de tous ses points entre deux bornes.

📝 Points essentiels

• La ligne numérique $\mathbb{R}$ inclut tous les rationnels $\mathbb{Q}$ et irrationnels, avec une densité remarquable : entre deux réels, il existe toujours un rationnel et un irrationnel.
• La propriété de bornitude supérieure (théorème fondamental) affirme que tout ensemble non vide et borné supérieur dans $\mathbb{R}$ possède un supremum.
• La propriété de l’Archimède garantit que pour tout $x \in \mathbb{R}$, il existe $n \in \mathbb{N}$ tel que $n > x$.
• Les intervalles sont caractérisés par leur convexité : si $x, y$ appartiennent à un intervalle, tout $z$ entre eux aussi.
• La densité de $\mathbb{Q}$ dans $\mathbb{R}$ permet d’approcher tout réel par des rationnels, ce qui est crucial pour la construction rigoureuse de $\mathbb{R}$.

💡 À retenir

Les nombres réels forment un ensemble complet, dense et ordonné, permettant une analyse précise des bornes, intervalles et limites, fondamentales pour toute étude avancée en mathématiques.

📖 2. Majorants et minorants

🔑 Notions clés & Définitions

• Majorant (ou majorant supérieur) : Nombre réel $M$ tel que pour tout $a \in A$, $a \leq M$.
  Point essentiel : Un majorant est une borne supérieure potentielle d’un ensemble.

• Minorant (ou minorant inférieur) : Nombre réel $m$ tel que pour tout $a \in A$, $m \leq a$.
  Point essentiel : Un minorant est une borne inférieure potentielle d’un ensemble.

• Maximum : Élément $M \in A$ qui est un majorant et appartient à $A$.
  Point essentiel : Le maximum est la plus grande valeur de l’ensemble, si elle existe.

• Minimum : Élément $m \in A$ qui est un minorant et appartient à $A$.
  Point essentiel : La plus petite valeur de l’ensemble, si elle existe.

• Supremum (ou borne supérieure) : $\sup(A)$ est le plus petit majorant de $A$.
  Point essentiel : La borne supérieure la plus proche de l’ensemble sans la dépasser.

• Infimum (ou borne inférieure) : $\inf(A)$ est le plus grand minorant de $A$.
  Point essentiel : La borne inférieure la plus proche de l’ensemble sans la dépasser.

📝 Points essentiels

• Existence de bornes : Tout ensemble non vide et majoré possède un supremum ; tout ensemble minoré possède un infimum (Théorème de la propriété des bornes).
• Relation entre maximum/minimum et supremum/infimum : Si $\max(A)$ existe, alors $\max(A) = \sup(A)$. De même pour le minimum et l’infimum.
• Unicité : La borne supérieure, inférieure, maximum et minimum, si elle existent, sont uniques.
• Caractérisation du supremum : $b = \sup(A)$ si et seulement si $b$ est un majorant de $A$ et que pour tout $\varepsilon > 0$, il existe $a \in A$ tel que $a > b - \varepsilon$.
• Caractérisation de l’infimum : $b = \inf(A)$ si et seulement si $b$ est un minorant de $A$ et que pour tout $\varepsilon > 0$, il existe $a \in A$ tel que $a < b + \varepsilon$.

💡 À retenir

Les majorants et minorants permettent de délimiter un ensemble par des bornes supérieures et inférieures, essentielles pour étudier la convergence, la continuité, et la structure des ensembles en analyse réelle. La relation entre maximum/minimum et supremum/infimum est fondamentale pour comprendre la complétude de $\mathbb{R}$.

📖 3. Bornes et extrema

🔑 Notions clés & Définitions

• Majorant (borne supérieure) : Un réel $b$ est un majorant d’un ensemble $A \subset \mathbb{R}$ si, pour tout $x \in A$, on a $x \leq b$.
  Point essentiel : $b$ est une borne supérieure si elle est au moins aussi grande que tous les éléments de $A$.

• Minorant (borne inférieure) : Un réel $b$ est un minorant de $A$ si, pour tout $x \in A$, on a $x \geq b$.
  Point essentiel : $b$ est une borne inférieure si elle est au moins aussi petite que tous les éléments de $A$.

• Plus petit majorant (suplemmentaire) : La borne supérieure la plus petite d’un ensemble $A$, appelée $\sup A$ ou borne supérieure de $A$.
  Point essentiel : $\sup A$ est la limite inférieure de l’ensemble de ses majorants.

• Plus grand minorant (inférieur) : La borne inférieure la plus grande d’un ensemble $A$, appelée $\inf A$ ou borne inférieure de $A$.
  Point essentiel : $\inf A$ est la limite supérieure de l’ensemble de ses minorants.

• Extrema (maximum et minimum) :

  • Maximum : Élément $x_{max} \in A$ tel que $\forall x \in A, x \leq x_{max}$.
  • Minimum : Élément $x_{min} \in A$ tel que $\forall x \in A, x \geq x_{min}$.
    Point essentiel : Un extrema est un point où la fonction ou l’ensemble atteint ses bornes absolues.

📝 Points essentiels

• Propriété de la borne :

  • Si $A$ est non vide et majorée, alors $\sup A$ existe dans $\mathbb{R}$ si et seulement si $A$ est bornée supérieurement.
  • De même, si $A$ est minorée, alors $\inf A$ existe dans $\mathbb{R}$.

• Caractérisation de la borne inférieure (Proposition 1.2.8) :
  $b$ est une borne inférieure de $A$ si, pour tout $\varepsilon > 0$, il existe un $x \in A$ tel que $x \in [b, b + \varepsilon]$.

• Existence des extrema :

  • Si $A$ est bornée et fermée, alors elle possède un maximum et un minimum (Théorème du maximum/minimum).

• Relation entre bornes et extrema :

  • $\min A \leq \sup A$ et $\min A \leq \max A \leq \sup A$.

💡 À retenir

Les bornes (inférieure et supérieure) permettent de décrire l’étendue d’un ensemble, tandis que les extrema sont les points où cette étendue est atteinte. La propriété fondamentale est que tout ensemble borné et fermé possède un maximum et un minimum, ce qui est essentiel pour l’analyse des fonctions et des suites.

📖 4. Propriétés de l'intervalle

🔑 Notions clés & Définitions

• Intervalle : Ensemble de nombres réels compris entre deux bornes, noté [a, b], ]a, b[, [a, b[, etc., selon que les bornes sont incluses ou non.
  Point essentiel : tout intervalle est un sous-ensemble de R, caractérisé par sa connectivité et ses bornes.

• Point intérieur : Un point a est intérieur d’un ensemble A si ∃ δ > 0 tel que ]a−δ, a+δ[ ⊆ A.
  Point essentiel : l’intérieur d’un ensemble est l’ensemble de ses points intérieurs.

• Point adhérent (ou limite) : Un point a est adhérent à A si ∀ δ > 0, ]a−δ, a+δ[ ∩ A ≠ ∅.
  Point essentiel : tous les points adhérents sont soit dans A, soit limite de points de A.

• Point d’accumulation : Un point a est d’accumulation de A si ∀ δ > 0, (]a−δ, a[ ∪ ]a, a+δ[) ∩ A ≠ ∅.
  Point essentiel : il existe une infinité de points de A proches de a.

• Ensemble ouvert : U est ouvert si ∀ x ∈ U, ∃ ε > 0 tel que ]x−ε, x+ε[ ⊆ U.
  Point essentiel : un ensemble est ouvert s’il ne contient pas ses points frontières.

• Ensemble fermé : C est fermé si il contient tous ses points d’accumulation, ou si son complément est ouvert.
  Point essentiel : la clôture d’un ensemble fermé est l’ensemble lui-même.

📝 Points essentiels

• La propriété de connexité des intervalles : tout intervalle est connecté, ce qui implique qu’il ne peut pas être décomposé en deux parties disjointes ouvertes.
• La relation entre intérieur, adhérence et frontière : pour tout ensemble A, on a ◦A ⊆ A ⊆ Ā, où Ā est la clôture de A. La frontière ∂A = Ā \ ◦A.
• La caractérisation des intervalles : tout intervalle est à la fois ouvert, fermé ou semi-ouvert selon ses bornes, et leur propriété de stabilité par opérations d’union ou d’intersection.

💡 À retenir

Les propriétés topologiques des intervalles, telles que leur ouverture ou fermeture, sont fondamentales pour comprendre la structure des ensembles en analyse réelle, notamment pour l’étude des limites, continuités et convergence.

📖 5. Propriété de l'Archimède

🔑 Notions clés & Définitions

• Propriété de l'Archimède :
  Affirmation fondamentale en mathématiques qui stipule que pour tout nombre réel positif, il existe un entier naturel supérieur à ce nombre.
  Formulation : Pour tout $x > 0$, il existe un entier $n \in \mathbb{N}$ tel que $n > x$.

• Nombre réel :
  Ensemble comprenant tous les nombres rationnels et irrationnels, caractérisé par sa densité et sa complétude.
  Point essentiel : La propriété de l'Archimède s'applique à tous les réels.

• Entier naturel ($\mathbb{N}$) :
  Ensemble des nombres non négatifs $\{0, 1, 2, 3, \dots \}$.
  Rôle : Sert de référence pour la comparaison avec les réels.

• Majorant :
  Un nombre $M$ tel que pour une suite ou un ensemble, tous ses éléments sont inférieurs ou égaux à $M$.
  Exemple : Si une suite est bornée supérieurement, elle admet un majorant.

• Borne supérieure :
  La plus petite valeur parmi tous les majorants d’un ensemble.
  Point clé : La propriété de l'Archimède garantit l'existence de tels majorants pour tout ensemble borné.

📝 Points essentiels

• La propriété de l'Archimède assure qu'il n'existe pas de nombres réels "infinitésimaux" ou "infinités" sans limite : tout nombre réel peut être dépassé par un entier naturel.
• Elle permet de démontrer la densité des rationnels dans les réels et la complétude de $\mathbb{R}$.
• Elle est fondamentale pour la construction des nombres réels à partir des rationnels.
• La propriété implique que pour tout $x \in \mathbb{R}$, il existe un entier $n$ tel que $n > x$.

💡 À retenir

La propriété de l'Archimède garantit que les nombres réels sont "à l’échelle" des entiers naturels, permettant de comparer et de "mesurer" toute grandeur réelle à l’aide d’entiers. Elle est essentielle pour établir la notion de bornes et la convergence des suites.

📖 6. Développement décimal

🔑 Notions clés & Définitions

Développement décimal
Représentation d’un nombre réel sous la forme d’une somme infinie de termes en puissance de 10, c’est-à-dire :
$x = \pm \left( q_0 + \frac{q_1}{10} + \frac{q_2}{10^2} + \frac{q_3}{10^3} + \cdots \right)$
où $q_0 \in \mathbb{Z}$ et $q_i \in \{0, 1, 2, \ldots, 9\}$ pour $i \geq 1$.

Notion de chiffre
Chaque $q_i$ dans le développement décimal est appelé un chiffre, représentant la valeur à la position $10^{-i}$.

Approximation décimale
Une valeur finie obtenue en tronquant le développement décimal à un certain rang $n$, c’est-à-dire :
$x \approx q_0 + \frac{q_1}{10} + \cdots + \frac{q_n}{10^n}$

Propriété d’unicité
Tout nombre réel peut être représenté de manière unique par un développement décimal, sauf pour les nombres rationnels qui ont une représentation décimale périodique ou finie.
Exception notable : certains nombres rationnels ont deux représentations décimales, par exemple :
$0.9999\ldots = 1$

📝 Points essentiels

• Existence du développement : Tout nombre réel possède un développement décimal, obtenu par la méthode de la division répétée ou par la propriété d’Archimède.
• Convergence : La somme infinie des termes en puissance de 10 converge vers le nombre réel qu’elle représente.
• Approximation : La valeur tronquée à un rang $n$ donne une approximation de plus en plus précise du nombre réel lorsque $n$ augmente.
• Nombres rationnels et décimales périodiques : Un nombre rationnel a un développement décimal périodique ou fini, tandis qu’un nombre irrationnel a un développement décimal non périodique et infini.

💡 À retenir

Le développement décimal permet d’écrire tout nombre réel comme une somme infinie de chiffres en puissance de 10, ce qui facilite leur approximation, leur étude et leur représentation graphique.

📖 7. Densité des rationnels

🔑 Notions clés & Définitions

Densité : Une sous-ensemble $A$ de $\mathbb{R}$ est dense dans $\mathbb{R}$ si, pour tout réel $x$ et tout $\varepsilon > 0$, il existe un élément $a \in A$ tel que $|a - x| < \varepsilon$. Autrement dit, entre n'importe quels deux réels, on peut toujours trouver un élément de $A$.

Rationnels ($\mathbb{Q}$) : Ensemble des nombres rationnels, c'est-à-dire des nombres pouvant s'écrire sous la forme $\frac{p}{q}$ avec $p, q \in \mathbb{Z}$ et $q \neq 0$.

Propriété de densité des rationnels : $\mathbb{Q}$ est dense dans $\mathbb{R}$. Cela signifie que pour tout réel $x$ et tout $\varepsilon > 0$, il existe un rationnel $q \in \mathbb{Q}$ tel que $|q - x| < \varepsilon$.

Approximation par rationnels : Toute valeur réelle peut être approchée arbitrairement près par des nombres rationnels, ce qui est essentiel en analyse pour démontrer la densité et la complétude.

Notion de limite : La densité des rationnels implique que, dans la définition de limite d'une fonction ou d'une suite, on peut restreindre à des rationnels pour approcher n'importe quel point ou valeur.

📝 Points essentiels

• La densité de $\mathbb{Q}$ dans $\mathbb{R}$ est une propriété fondamentale qui permet d'approximer n'importe quel nombre réel par une suite de rationnels.
• La propriété est utilisée pour démontrer la continuité, la limite, et la complétude dans l'analyse réelle.
• La densité ne signifie pas que $\mathbb{Q}$ est fermé ou complet : il existe des nombres irrationnels non approchables par une suite finie de rationnels avec précision infinie, mais on peut toujours s'en approcher arbitrairement.
• La densité est une caractéristique clé pour la construction de nombres réels à partir de rationnels (par exemple, via les suites de Cauchy).

💡 À retenir

La densité des rationnels dans $\mathbb{R}$ garantit que, pour tout nombre réel, on peut le rapprocher aussi près que souhaité avec des rationnels, ce qui facilite l'étude des limites, de la continuité et de la complétude dans l'analyse réelle.

📖 8. Valeur absolue et distance

🔑 Notions clés & Définitions

• Valeur absolue |a| : La valeur absolue d’un réel a est la distance de a à 0 sur la droite réelle, définie par : $|a| = \begin{cases} a, & \text{si } a \geq 0 \\ -a, & \text{si } a \leq 0 \end{cases}$ Elle est toujours positive ou nulle, et vérifie |a| = √(a²).

• Distance d(a, b) : La distance entre deux réels a et b est donnée par : $d(a, b) = |a - b|$ C’est une mesure de la séparation entre a et b sur la droite réelle.

• Inégalité triangulaire : Pour tous a, b ∈ R, on a : $|a + b| \leq |a| + |b|$ Elle exprime que la valeur absolue du somme ne dépasse pas la somme des valeurs absolues.

📝 Points essentiels

• La valeur absolue |a| est toujours ≥ 0, et |a| = 0 si et seulement si a = 0.
• La distance d(a, b) est une métrique : elle vérifie la symétrie, la non-négativité, la propriété de séparation (d(a, b) = 0 ⇔ a = b) et l’inégalité triangulaire.
• La valeur absolue permet de définir et d’étudier la proximité entre deux nombres, essentielle pour la notion de convergence et de continuité.
• La propriété triangulaire est fondamentale pour démontrer des inégalités et pour la stabilité des mesures de distance.

💡 À retenir

La valeur absolue mesure la distance d’un nombre à zéro, et la distance entre deux nombres est simplement la valeur absolue de leur différence, ce qui permet d’établir une notion rigoureuse de proximité dans R.

📖 9. Concepts topologiques

🔑 Notions clés & Définitions

• Intérieur d’un ensemble : Ensemble des points pour lesquels il existe un voisinage entièrement contenu dans cet ensemble.
  Formule : a ∈ intA si ∃ δ > 0, ]a - δ, a + δ[ ⊂ A.

• Adhérence d’un ensemble : Ensemble des points tels que tout voisinage de ces points intersecte l’ensemble.
  Formule : a ∈ -A si ∀ δ > 0, ]a - δ, a + δ[ ∩ A ≠ ∅.

• Point d’accumulation (de A) : Point où toute boule de rayon δ > 0 contient un point de A différent de lui-même.
  Formule : a ∈ A′ si ∀ δ > 0, (]a - δ, a[ ∪ ]a, a + δ[) ∩ A ≠ ∅.

• Ensemble ouvert : Ensemble où chaque point possède un voisinage entièrement contenu dans l’ensemble.
  Formule : U est ouvert si ∀ x ∈ U, ∃ ε > 0, ]x - ε, x + ε[ ⊂ U.

• Ensemble fermé : Ensemble contenant tous ses points d’accumulation.
  Formule : C est fermé si C contient ses points d’accumulation, ou si son complément est ouvert.

• ** Voisinage d’un point** : Ensemble contenant un voisinage ouvert du point considéré.
  Formule : V est voisinage de x si ∃ U ouvert, x ∈ U ⊂ V.

📝 Points essentiels

• La topologie de R est définie par la notion d’ouverts, qui sont des ensembles contenant un voisinage autour de chaque point.
• La clôture d’un ensemble est l’union de l’ensemble et de ses points d’accumulation.
• La distinction entre intérieur, adhérence et points d’accumulation est fondamentale pour comprendre la structure locale des ensembles.
• La propriété d’un ensemble ouvert ou fermé permet de caractériser sa stabilité sous opérations topologiques (intersections, compléments).

💡 À retenir

Les notions d’intérieur, d’adhérence et d’ouverture/fermeture sont essentielles pour analyser la structure locale et la limite des ensembles en topologie réelle.

📖 10. Suites numériques

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite numérique : Fonction définie sur l'ensemble des entiers naturels $\mathbb{N}$, associant à chaque $n$ un nombre réel $u_n$. C'est une liste infinie de nombres : $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$.

• Suite croissante : Suite $(u_n)$ telle que pour tout $n$, $u_n \leq u_{n+1}$. La tendance est à l'augmentation ou stabilité.

• Suite décroissante : Suite $(u_n)$ telle que pour tout $n$, $u_n \geq u_{n+1}$. La tendance est à la diminution ou stabilité.

• Limite d'une suite : Nombre $L \in \mathbb{R}$ tel que, pour tout $\varepsilon > 0$, il existe $N$ tel que pour tout $n \geq N$, $|u_n - L| < \varepsilon$. La suite $(u_n)$ converge vers $L$.

• Suite bornée : Suite $(u_n)$ admettant deux réels $m$ et $M$ tels que pour tout $n$, $m \leq u_n \leq M$. Elle est limitée dans l'espace.

📝 Points essentiels

• La convergence d'une suite implique qu'elle se rapproche d'un seul et même nombre $L$, appelé limite.

• Une suite monotone (croissante ou décroissante) et bornée converge toujours (théorème de la limite monotone).

• La limite d'une suite peut être trouvée via des méthodes de calcul de limite, notamment en utilisant des propriétés des opérations sur les suites (somme, produit, etc.).

• La propriété d'Archimède garantit que pour toute suite, on peut définir une partie entière $\lfloor x \rfloor$ et développer la suite en développement décimal.

• La densité de $\mathbb{Q}$ dans $\mathbb{R}$ permet d'approcher tout réel par une suite de rationnels.

💡 À retenir

Une suite numérique est une liste infinie de nombres réels dont la convergence vers une limite unique est essentielle en analyse, notamment pour étudier la stabilité et le comportement asymptotique de phénomènes mathématiques ou physiques.

📖 11. Monotonie des suites

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite croissante : Une suite $(u_n)$ est dite croissante si, pour tout $n \in \mathbb{N}$, on a $u_n \leq u_{n+1}$.
  Point essentiel : Les termes ne diminuent jamais, la suite monte ou reste constante.

• Suite décroissante : Une suite $(u_n)$ est décroissante si, pour tout $n \in \mathbb{N}$, on a $u_n \geq u_{n+1}$.
  Point essentiel : Les termes ne croissent pas, la suite descend ou reste constante.

• Suite majorée : Une suite $(u_n)$ est majorée s'il existe un réel $M$ tel que, pour tout $n$, $u_n \leq M$.
  Point essentiel : La suite est bornée au-dessus.

• Suite minorée : Une suite $(u_n)$ est minorée s'il existe un réel $m$ tel que, pour tout $n$, $u_n \geq m$.
  Point essentiel : La suite est bornée en dessous.

• Suite monotone : Une suite qui est soit croissante, soit décroissante.
  Point essentiel : La monotonie caractérise la tendance générale de la suite.

📝 Point à retenir

Une suite monotone et bornée converge nécessairement vers une limite finie.

📖 12. Suites bornées et convergentes

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite bornée : Une suite $(u_n)$ est dite bornée s'il existe un réel $M > 0$ tel que, pour tout $n \in \mathbb{N}$, $\left| u_n \right| \leq M$.
  Point essentiel : La suite reste dans un intervalle fini, elle ne diverge pas à l'infini.

• Suite convergente : Une suite $(u_n)$ converge vers un réel $L$ si, pour tout $\varepsilon > 0$, il existe un entier $N$ tel que, pour tout $n \geq N$, $\left| u_n - L \right| < \varepsilon$.
  Point essentiel : La suite se rapproche arbitrairement près d’un unique réel $L$ à partir d’un certain rang.

• Limite d’une suite : Le réel $L$ vers lequel $(u_n)$ converge, noté $\lim_{n \to \infty} u_n = L$.
  Point essentiel : La limite est unique si la suite est convergente.

• Suite monotone : Une suite est dite monotone si elle est toujours croissante ($u_n \leq u_{n+1}$) ou décroissante ($u_n \geq u_{n+1}$).
  Point essentiel : La monotonicité facilite l’étude de la convergence.

• Critère de convergence pour suite monotone : Une suite monotone bornée converge nécessairement vers une limite finie.
  Point essentiel : La convergence est assurée pour une suite monotone et bornée.

💡 À retenir

Une suite bornée et monotone converge toujours vers une limite finie, ce qui constitue un critère fondamental pour l’étude de la convergence en analyse.

📊 Tableaux de Synthèse

Propriétés	Nombres réels	Majorants / Minorants	Bornes / Extrema	Intervalles	Suites numériques	Monotonie	Suites bornées / convergentes
Ensemble	Ensemble dense, complet, ordonné	Borne supérieure / inférieure	Borne supérieure / inférieure	Convex, connectés	Convergence, limite	Croissante / décroissante	Bornée + monotone → convergence
Notions clés	$\mathbb{R}$, rationnels, irrationnels	$\sup A$, $\inf A$	$\max A$, $\min A$	[a, b], ]a, b[, etc.	Limite $\lim a_n$	$a_{n+1} \geq a_n$ ou $\leq$	$(a_n)$ bornée et monotone converge
Théorèmes	Complétude, densité	Existence de $\sup$, $\inf$	Existence de max/min si fermé et borné	Propriétés topologiques	Théorème de convergence	Monotonie et bornitude → limite	Théorème de la limite pour suites bornées et monotones

⚠️ Pièges & Confusions Fréquentes

1. Confondre maximum et supremum : le maximum appartient à l’ensemble, le supremum peut ne pas y appartenir.
2. Confusion entre bornes et extrema : une borne n’est pas forcément atteinte par l’ensemble.
3. Faux-ami : croire que tout ensemble borné possède un maximum ou minimum (il faut que l’ensemble soit fermé).
4. Erreur sur la densité : penser que rationnels ou irrationnels ne peuvent pas approcher certains réels (ils sont denses).
5. Confondre point intérieur et point adhérent : un point adhérent peut ne pas être intérieur.
6. Mauvaise interprétation de la propriété de l’Archimède : ne pas réaliser qu’elle garantit l’existence d’entiers plus grands que tout réel.
7. Confusion entre suite convergente et suite bornée : une suite bornée n’est pas forcément convergente.

✅ Checklist Examen

• Vérifier si l’ensemble est non vide et borné pour appliquer le théorème de la complétude.
• Savoir distinguer entre maximum/minimum et supremum/infimum.
• Savoir déterminer si un ensemble est un intervalle et caractériser ses points intérieurs et adhérents.
• Connaître la définition et la propriété de la densité des rationnels dans $\mathbb{R}$.
• Maîtriser la propriété de l’Archimède et ses implications.
• Savoir développer un nombre décimal et reconnaître une expansion décimale périodique ou non.
• Comprendre la notion de densité des rationnels et irrationnels.
• Savoir calculer la valeur absolue, la distance entre deux points, et leur rôle dans la topologie.
• Connaître la définition et la caractérisation des suites monotones, bornées, et leur convergence.
• Vérifier si une suite monotone et bornée converge selon le théorème de la limite monotone.
• Identifier si une suite est bornée et si elle converge.
• Vérifier si un ensemble est fermé, ouvert, ou compact selon ses propriétés topologiques.