Quiz: Analyse des suites arithmétiques et géométriques — 10 perguntas

1. Quelle relation caractérise une suite arithmétique ?

A. Un terme s’obtient en multipliant le terme précédent par une constante

B. Le quotient de deux termes consécutifs est constant

C. Chaque terme est la somme des deux précédents

D. Un terme s’obtient en ajoutant une constante au terme précédent

Answer: (D)

Explicação

Dans une suite arithmétique, on passe d’un terme au suivant en ajoutant une même raison. La multiplication constante correspond au contraire à une suite géométrique.

2. Dans une suite géométrique de premier terme U₀ et de raison q, quelle expression donne Uₙ ?

A. Uₙ = U₀ + qⁿ

B. Uₙ = q + nU₀

C. Uₙ = U₀qⁿ

D. Uₙ = U₀ + nq

Answer: (C)

Explicação

Pour une suite géométrique, chaque terme est obtenu en multipliant le précédent par q, d’où Uₙ = U₀qⁿ. La formule U₀ + nq correspond à une suite arithmétique.

3. Quelle formule donne la somme des termes d’une suite géométrique de premier terme et de raison q ?

A. Sₙ = premier + n×q

B. Sₙ = (n + 1)(premier + dernier) / 2

C. Sₙ = premier × (1 - qⁿ⁺¹) / (1 - q)

D. Sₙ = premier × (n + 1) × dernier

Answer: (C)

Explicação

La somme des premiers termes d’une suite géométrique s’exprime à l’aide de la raison q par la formule premier × (1 - qⁿ⁺¹) / (1 - q). La formule avec le premier et le dernier terme est celle d’une suite arithmétique.

4. Dans une suite arithmétique, à quoi correspond la somme des termes de rang 0 à n ?

A. À une somme qui dépend du premier et du dernier terme

B. À une somme identique au terme de rang n

C. À une somme égale au produit des termes consécutifs

D. À une somme qui dépend uniquement de la raison

Answer: (A)

Explicação

Pour une suite arithmétique, la somme des premiers termes se calcule à partir du premier terme, du dernier terme et du nombre de termes. Elle ne dépend pas seulement de la raison.

5. Comment reconnaît-on qu’une suite est croissante ?

A. On a Uₙ₊₁ > Uₙ pour tout n

B. On a Uₙ₊₁ < Uₙ pour tout n

C. On a Uₙ₊₁ ÷ Uₙ > 1 pour tout n

D. On a Uₙ₊₁ = Uₙ pour tout n

Answer: (A)

Explicação

Une suite est croissante lorsque chaque terme est strictement plus grand que le précédent, donc Uₙ₊₁ > Uₙ. L’égalité caractérise une suite stationnaire.

6. Quelle méthode permet souvent de déterminer le sens de variation d’une suite définie par une expression explicite ?

A. Étudier le signe de Uₙ₊₁ - Uₙ

B. Comparer Uₙ à 0 seulement

C. Calculer la limite de Uₙ sans autre étape

D. Étudier le signe de Uₙ × Uₙ₊₁

Answer: (A)

Explicação

On compare souvent deux termes consécutifs en calculant Uₙ₊₁ - Uₙ, puis on étudie son signe. Un signe positif indique une croissance, un signe négatif une décroissance, et un signe nul une stationnarité.

7. Si Uₙ ≤ Vₙ à partir d’un certain rang et si Uₙ tend vers +∞, que peut-on conclure ?

A. Vₙ est forcément stationnaire

B. Vₙ converge vers une limite finie

C. Vₙ tend vers 0

D. Vₙ tend aussi vers +∞

Answer: (D)

Explicação

Le théorème de comparaison permet de conclure que si une suite est minorée par une suite qui tend vers +∞, alors elle tend aussi vers +∞. L’inégalité dans le bon sens est essentielle.

8. Que vaut la suite qⁿ lorsque -1 < q < 1 ?

A. Elle tend vers +∞

B. Elle tend vers 0

C. Elle tend vers 1

D. Elle n’a pas de limite

Answer: (B)

Explicação

Quand -1 < q < 1, les puissances qⁿ tendent vers 0. Le cas q = -1 est particulier : la suite n’a pas de limite.

9. Dans quel cas une suite monotone est-elle garantie convergente ?

A. Lorsqu’elle est croissante et minorée

B. Lorsqu’elle est bornée seulement

C. Lorsqu’elle est stationnaire uniquement

D. Lorsqu’elle est croissante et majorée

Answer: (D)

Explicação

Une suite croissante et majorée est convergente, de même qu’une suite décroissante et minorée. La seule bornitude ne suffit pas à elle seule pour conclure.

10. Quelle est la structure correcte d’une démonstration par récurrence ?

A. Montrer d’abord la conclusion puis l’hypothèse

B. Vérifier un seul rang puis conclure pour tous les rangs

C. Comparer deux suites sans base de départ

D. Montrer l’initialisation puis l’hérédité

Answer: (D)

Explicação

Une preuve par récurrence comporte deux étapes : l’initialisation, puis l’hérédité, qui montre que la propriété se transmet de n à n+1. C’est ainsi qu’on établit la propriété pour tous les entiers naturels.