Analyse des variations et du signe d'une parabole

📋 Plan du Cours

1. Variations paraboliques
2. Signe et discriminant
3. Étude des extrema
4. Représentation graphique
5. Signe de la dérivée
6. Maxima et minima locaux
7. Symétrie parabole
8. Cas du discriminant

📖 1. Variations paraboliques

🔑 Notions clés & Définitions

• Forme canonique d’un polynôme du second degré : $f(x) = a(x - \alpha)^2 + \beta$, où $a \neq 0$. Elle permet d’identifier rapidement le sommet et l’orientation de la parabole.
• La courbe représentative d’un polynôme du second degré : une parabole. Selon le signe de $a$, elle s’oriente vers le haut (minimum) ou vers le bas (maximum).
• Orientation de la parabole selon le signe de $a$ :
  • $a > 0$ : parabole tournée vers le haut, admet un minimum en $x = \alpha$.
  • $a < 0$ : parabole tournée vers le bas, admet un maximum en $x = \alpha$.
• Axe de symétrie de la parabole : la droite d’équation $x = \alpha$, qui passe par le sommet $S(\alpha; \beta)$.
• Coordonnées du sommet : $S(\alpha; \beta)$, avec $\alpha = -\frac{b}{2a}$ et $\beta = f(\alpha)$.
• Points essentiels : le sommet $S$ est le point de minimum ou maximum, et l’axe de symétrie est la ligne de symétrie de la parabole.

📝 Points essentiels