Analyse des variations et extrema des fonctions

📋 Plan du Cours

1. Propriétés de dérivées usuelles
2. Opérations sur fonctions dérivables
3. Dérivée de fonctions composées
4. Étude des variations
5. Critères de croissance et décroissance
6. Définition d'extrémum
7. Critères d'extrémum
8. Exemples d'extrémums

📖 1. Propriétés de dérivées usuelles

🔑 Notions clés & Définitions

• Dérivée d'une fonction : La dérivée $f'(x)$ d'une fonction $f$ en un point $x$ mesure la pente de la tangente à la courbe en ce point, c'est-à-dire le taux de variation instantané de $f$ en $x$.

• Propriétés des dérivées de fonctions usuelles :

  • La dérivée de $x^n$ (puissance) est $nx^{n-1}$ (notée admise).
  • La dérivée de $e^x$ est $e^x$.
  • La dérivée de $\ln(x)$ est $1/x$ pour $x > 0$.
  • La dérivée de fonctions trigonométriques : $\sin(x)$ → $\cos(x)$, $\cos(x)$ → $-\sin(x)$.

• Opérations sur les fonctions dérivables :

  • Somme : $(u+v)' = u' + v'$
  • Produit : $(uv)' = u'v + uv'$
  • Quotient (si $v \neq 0$) : $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$
  • Composition (fonction composée) : si $f = g \circ h$, alors $f'(x) = g'(h(x)) \times h'(x)$

• Dérivée d'une fonction composée avec une fonction affine : Si $f(x) = g(ax + b)$, alors $f'(x) = a \times g'(ax + b)$.

📝 Points essentiels