Analyse et optimisation en espace vectoriel

📋 Plan du Cours

1. Logique et ensembles
2. Fonctions de deux variables
3. Dérivées partielles
4. Continuité en deux variables
5. Dérivées partielles et composition
6. Extremums locaux
7. Points critiques
8. Applications linéaires et matrices
9. Déterminant et rang d’une matrice
10. Sous-espaces vectoriels
11. Orthogonalité et projections
12. Formes linéaires et hyperplans

📖 1. Logique et ensembles

🔑 Notions clés & Définitions

• Proposition : Énoncé mathématique pouvant être vrai (V) ou faux (F). Exemple : "x > 0".
• Connecteurs logiques :
  • Non (¬) : Négation d'une proposition. Si P est vraie, ¬P est fausse.
  • Ou (∨) : Disjonction inclusive. P ∨ Q est vrai si P ou Q ou les deux sont vrais.
  • Et (∧) : Conjonction. P ∧ Q est vrai si P et Q sont vrais simultanément.
  • Implication (⇒) : Si P alors Q. Vrai sauf si P est vrai et Q faux.
  • Équivalence (⇔) : P si et seulement si Q. Vrai si P et Q ont la même valeur de vérité.
• Table de vérité : Outil pour vérifier la validité des connecteurs logiques en listant toutes les combinaisons de V et F.
• Quantificateurs :
  • ∀ (pour tout) : Proposition valable pour tous les éléments d’un ensemble.
  • ∃ (il existe) : Existence d’au moins un élément vérifiant la propriété.
  • ∃! (il existe un unique) : Existence d’un seul élément vérifiant la propriété.

📝 Points essentiels