Fondements de l'Algèbre Linéaire

📋 Plan du Cours

1. Espaces vectoriels
2. Sous-espaces vectoriels
3. Familles génératrices
4. Familles libres
5. Bases et coordonnées
6. Applications linéaires
7. Noyau et image
8. Isomorphismes et automorphismes
9. Projecteurs et symétries
10. Sommes directes et sous-espaces supplémentaires

📖 1. Espaces vectoriels

🔑 Notions clés & Définitions

• Espace vectoriel sur K (ou K-espace vectoriel) : Ensemble E muni de deux lois de composition, + (addition interne) et λ· (multiplication externe par un scalaire λ ∈ K), vérifiant les propriétés d’associativité, de commutativité, d’existence d’un élément neutre (vecteur nul) et d’un opposé pour +, ainsi que la compatibilité avec la multiplication par les scalaires.
  Source : AUTEUR (date) : définition formelle d’un espace vectoriel.

• Lois de composition :

  • Addition interne (+) : application de E × E dans E, vérifiant :
    1. Associativité : (x + y) + z = x + (y + z)
    2. Commutativité : x + y = y + x
    3. Élément neutre : ∃ 0E ∈ E tel que ∀ x ∈ E, x + 0E = x
    4. Symétrique : ∀ x ∈ E, ∃ -x ∈ E tel que x + (-x) = 0E
  • Multiplication par un scalaire (λ·) : application de K × E dans E, vérifiant :
    1. Distributivité sur la somme : λ·(x + y) = λ·x + λ·y
    2. Distributivité sur les scalaires : (λ + μ)·x = λ·x + μ·x
    3. Compatibilité des scalaires : λ·(μ·x) = (λμ)·x
    4. Unité : 1·x = x
       Source : AUTEUR (date) : propriétés fondamentales.