Introduction aux espaces métriques et normes

📋 Plan du Cours

1. Espaces métriques
2. Parties bornées
3. Espaces vectoriels normés
4. Norme et distance
5. Normes usuelles

📖 1. Espaces métriques

🔑 Notions clés & Définitions

• Distance sur un ensemble (d) : Fonction d : E² → R+ vérifiant :

  • Séparation : d(x, y) = 0 ↔ x = y
  • Symétrie : d(x, y) = d(y, x)
  • Inégalité triangulaire : d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z)

• Boules ouvertes (B(c, r)) : Ensemble {x ∈ E : d(c, x) < r} où c ∈ E, r > 0.

• Boules fermées (B̄(c, r)) : Ensemble {x ∈ E : d(c, x) ≤ r} où c ∈ E, r > 0.

• Sphère (S(c, r)) : Ensemble {x ∈ E : d(c, x) = r} où c ∈ E, r > 0.

• Partie bornée d’un espace métrique (A) : Partie contenue dans une boule (ouverte ou fermée) de rayon fini, équivalent à : diam(A) < +∞, où diam(A) = sup {d(x, y) : x, y ∈ A}.

📝 Points essentiels

• La distance doit satisfaire trois propriétés fondamentales : séparation, symétrie, inégalité triangulaire.
• Les boules ouvertes et fermées sont définies via la distance, avec les notations B(c, r) et B̄(c, r).
• La sphère est l’ensemble des points à une distance précise r d’un centre c.
• La partie bornée est caractérisée par un diamètre fini, ce qui implique qu’elle est contenue dans une boule de rayon fini.
• La propriété de séparation garantit que la distance est nulle uniquement pour deux points identiques.
• La propriété d’inégalité triangulaire permet de comparer la distance entre deux points via un point intermédiaire.

💡 À retenir