Introduction aux Espaces Vectoriels et Applications Linéaires

📋 Plan du Cours

1. Définition espace vectoriel
2. Propriétés sous-espaces
3. Exemples sous-espaces
4. Dimension et base
5. Applications linéaires
6. Théorème du rang
7. Matrices et rang
8. Produit scalaire
9. Orthogonalité et sous-espaces
10. Projection orthogonale
11. Complément orthogonal
12. Diagonalisation et valeurs propres

📖 1. Définition espace vectoriel

🔑 Notions clés & Définitions

• Sous-espace vectoriel : Sous-ensemble F de E tel que :

  • 0 ∈ F
  • u, v ∈ F ⇒ u + v ∈ F
  • λ ∈ K, u ∈ F ⇒ λu ∈ F

• Propriétés :

  • L'intersection de deux sous-espaces vectoriels est un sous-espace vectoriel.
  • La somme de deux sous-espaces F et G, définie par F + G = {u + v | u ∈ F, v ∈ G}, est un sous-espace vectoriel.

• Exemples :

  • F = {(x, y, z) ∈ R^3 | x + y + z = 0}
  • G = {(x, y, z) ∈ R^3 | x = y = 0}
  • F ∩ G = {(0, 0, 0)}