Introduction aux primitives et équations différentielles

📋 Plan du Cours

1. Primitive d’une fonction : définition et lien dérivée
2. Deux primitives diffèrent d’une constante
3. Existence des primitives et primitive particulière
4. Primitives des fonctions usuelles
5. Linéarité et recherche de primitives
6. Primitives de fonctions composées
7. Équations différentielles : définition et solutions
8. Équations différentielles du type y’ = ay
9. Équations différentielles du type y’ = ay + b

📖 1. Primitive d’une fonction : définition et lien dérivée

🔑 Notions clés & Définitions

• Primitive : Une primitive d’une fonction $f$ est une fonction $F$ telle que $F'(x)=f(x)$ sur un intervalle donné.
• Fonction continue : Une fonction continue sur un intervalle $I$ vérifie les hypothèses nécessaires pour garantir l’existence de primitives sur $I$.
• Lien dérivée : Dire qu’une fonction $F$ est une primitive de $f$ revient à dire que $f$ est la dérivée de $F$.

📝 Points essentiels

• Si $F$ est une primitive de $f$ sur $I$, alors $F'(x)=f(x)$ pour tout $x$ de $I$.
• La définition de primitive relie directement dérivation et égalité de fonctions sur l’intervalle considéré.
• Pour vérifier qu’une fonction $F$ est une primitive de $f$, on dérive $F$ et on compare au résultat avec $f$.
• Le cours insiste sur l’équivalence : « $F$ primitive de $f$ » ⇔ « $f$ est la dérivée de $F$ ».
• L’exemple montre qu’en dérivant une fonction candidate on retrouve exactement la fonction donnée (égalité terme à terme).