Ficha de revisão: Maîtrise des équations et parallélismes de droites

📋 Plan du Cours

1. Vecteur directeur et colinéarité
2. Équation cartésienne d'une droite
3. Déterminer une équation avec un point
4. Exploiter l'équation d'une droite
5. Exercices d'application
6. Droites parallèles et équation associée

📖 1. Vecteur directeur et colinéarité

🔑 Notions clés & Définitions

• Vecteur directeur : Vecteur directeur : c’est un vecteur non nul porté par la direction d’une droite, c’est-à-dire colinéaire à tous les vecteurs qui ont cette même direction.
• Colinéarité : Colinéarité : deux vecteurs sont colinéaires quand ils ont la même direction, ce qui revient à ce qu’ils soient proportionnels ou “alignés”.

📝 Points essentiels

• Si A et B sont deux points, alors le vecteur
  1 forme par leurs coordonnees (AB) est un vecteur directeur de la droite passant par A et B.
• Un autre vecteur est aussi vecteur directeur si et seulement s’il est colinéaire au vecteur directeur de référence.
• Pour montrer la colinéarité de deux vecteurs, on peut chercher un multiplicateur commun entre leurs coordonnées.
• Le déterminant $\det(\vec{AB},\vec{v})$ vaut 0 si et seulement si les deux vecteurs sont colinéaires, comme dans l’exemple où la valeur obtenue est 0.

💡 Astuce mémo

Colinaire = “dt 0” : det(AB,v)=0.

📖 2. Équation cartésienne d'une droite

🔑 Notions clés & Définitions

• Équation cartésienne : Équation cartésienne : forme ax + by + c = 0 qui représente l’ensemble des points M(x,y) appartenant à une droite du plan.
• Déterminant pour la colinéarité : Déterminant pour la colinéarité : on utilise $\det(\vec{AM},\vec{AB})=0$ pour traduire le fait que $\vec{AM}$ et $\vec{AB}$ sont colinéaires.
• Vecteur directeur associé : Vecteur directeur associé : pour une droite d’équation ax + by + c = 0, un vecteur directeur possible a pour coordonnées (b, -a).

📝 Points essentiels

• Si M(x,y) appartient à la droite (AB), alors les vecteurs $\vec{AM}$ et $\vec{AB}$ sont colinéaires.
• L’égalité $\det(\vec{AM},\vec{AB})=0$ conduit à une équation cartésienne de la forme 4x + 5y - 17 = 0 dans l’exemple avec A(3,1) et B(-2,5).
• Vérifier qu’un point appartient à la droite revient à vérifier que ses coordonnées rendent l’expression ax + by + c égale à 0.
• Pour $ax + by + c = 0$, on obtient (au moins une possibilité de) vecteur directeur (b, -a) en coordonnées.
• La valeur de c se trouve en remplaçant x et y par les coordonnées d’un point connu de la droite dans l’équation ax + by + c = 0.

💡 Astuce mémo

Avec $ax+by+c=0$, le vecteur directeur “s’écrit” (b,-a) et donne la même direction que la droite.

📖 3. Déterminer une équation avec un point

🔑 Notions clés & Définitions

• Détermination de c : Détermination de c : c est l’inconnue à ajuster en remplaçant dans ax + by + c = 0 les coordonnées d’un point de la droite.
• Forme ax + by + c = 0 : Forme ax + by + c = 0 : représentation algébrique où a et b proviennent de la direction, puis c est fixé par un point.

📝 Points essentiels

• À partir de deux points A(-2,-3) et B(1,-1), on obtient un coefficient pour la partie directionnelle : $2x-3y+c=0$.
• En remplaçant A(-2,-3) dans $2x-3y+c=0$, on trouve $c=-5$ et donc $2x-3y-5=0$.
• Dans l’autre exercice, avec droite passant par C(-3,4) et de direction associée à $2x-7y+c=0$, on remplace C pour trouver $c=34$.
• Une fois l’équation obtenue, les intersections avec les axes s’obtiennent en imposant x=0 ou y=0, ce qui donne ici x=-10 et y=40/7.

💡 Astuce mémo

Deux étapes : direction (trouver a et b) puis c par substitution du point dans ax + by + c = 0.

📖 4. Exploiter l'équation d'une droite

🔑 Notions clés & Définitions

• Intersection avec un axe : Intersection avec un axe : point d’une droite où elle coupe un des axes, obtenu en posant x=0 ou y=0 dans l’équation.
• Vérification par substitution : Vérification par substitution : tester l’appartenance d’un point à la droite en remplaçant ses coordonnées dans l’équation et en vérifiant qu’on obtient 0.
• Détermination d’une ordonnée : Détermination d’une ordonnée : on remplace l’abscisse demandée dans ax + by + c = 0 pour résoudre en y.
• Détermination d’une abscisse : Détermination d’une abscisse : on remplace l’ordonnée demandée dans ax + by + c = 0 pour résoudre en x.

📝 Points essentiels

• Pour la droite 5x-6y+13=0, si x vaut 3 on obtient y=28/6≈4,67 en remplaçant et en résolvant.
• Pour la même droite, si y vaut 1 on obtient x=-7/5=-1,4 en remplaçant et en résolvant.
• Les points U et T donnés vérifient bien l’équation 5x-6y+13=0 par substitution, car on obtient 0 à chaque fois.
• Dans l’exemple d’équation -4x-3y+7=0, pour trouver un point d’abscisse 4/3 on impose y=0, ce qui donne x=7/4.

💡 Astuce mémo

Équation → valeur : abscisse fixée donne y, ordonnée fixée donne x, et on vérifie toujours en remplaçant dans l’égalité =0.

📖 5. Exercices d'application

🔑 Notions clés & Définitions

• Vecteur directeur à partir d’un couple (a,b) : Vecteur directeur à partir d’un couple (a,b) : pour ax + by + c = 0, un vecteur directeur possible est (-b, a) selon l’écriture choisie.
• Déterminant pour vérifier la colinéarité : Déterminant pour vérifier la colinéarité : on compare deux vecteurs en calculant le déterminant pour vérifier que la valeur obtenue est 0.

📝 Points essentiels

• Dans l’exercice avec u(-5,6) passant par A(2,1), on utilise $u=(-b,a)$ puis l’équation obtenue est 6x+5y-17=0.
• Pour la droite 3x+5y-15=0, si y=0 alors x=5, et si x=0 alors y=3, ce qui donne deux points de la droite.
• La vérification vectorielle consiste à utiliser le déterminant : dans l’exemple de la droite -2x+3y+4=0, on obtient CD=(6,4) et un vecteur W=(-3,2) qui sont colinéaires car les calculs mènent à 0.
• Dans la même progression, on déduit une droite parallèle : elle garde le même vecteur directeur que la droite donnée, puis on impose le passage par un point (ici E(-4,7)) pour trouver l’équation.

💡 Astuce mémo

Applications rapides : (1) axes via y=0/x=0, (2) colinéarité via det=0, (3) parallèle via même vecteur directeur.

📖 6. Droites parallèles et équation associée

🔑 Notions clés & Définitions

• Droites parallèles : Droites parallèles : deux droites ont la même direction, donc elles admettent des vecteurs directeurs colinéaires (même direction).
• Équation de droite parallèle : Équation de droite parallèle : pour une droite parallèle, on conserve la direction (les coefficients liés à la pente) puis on ajuste le terme constant pour passer par le point imposé.

📝 Points essentiels

• Pour construire une droite parallèle à $d3: -2x+3y+4=0$ passant par E(-4,7), on impose d’abord un vecteur directeur de (d4) identique en direction à celui de (d3).
• On écrit ensuite une équation de la forme $-2x+3y+c=0$ et on remplace les coordonnées de E(-4,7) pour déterminer c.
• En remplaçant dans $-2x+3y+c=0$ avec E(-4,7), on calcule $c=-29$ et on obtient l’équation $(d4): -2x+3y-29=0$.

💡 Astuce mémo

Parallèle = même direction : mêmes coefficients de x et y, puis c se fixe avec le point E.

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre le fait que deux vecteurs colinéaires donnent un déterminant nul et l’inverse sans calcul : il faut bien calculer $\det(\cdot,\cdot)$ pour conclure.
2. Oublier que l’équation cartésienne correspond à l’ensemble des points qui rendent l’expression ax+by+c égale à 0, donc une substitution non nulle signifie “pas sur la droite”.
3. Prendre un vecteur directeur sans vérifier la bonne direction : un vecteur directeur doit être colinéaire à la direction de la droite.
4. Confondre la détermination de c avec la résolution en x ou en y : c se trouve par substitution d’un point connu dans ax+by+c=0.
5. Changer le signe d’un vecteur directeur sans répercussion : l’équation de la droite ne dépend pas du choix de signe du vecteur, mais la démarche ne doit pas perdre la direction.
6. Intervertir x et y dans les calculs d’intersections avec les axes : pour couper l’axe, on impose bien x=0 ou y=0 dans l’équation.

✅ Checklist Examen

1. Savoir calculer un vecteur directeur AB à partir de deux points A et B.
2. Savoir montrer la colinéarité de deux vecteurs en utilisant un coefficient de proportionnalité ou un déterminant égal à 0.
3. Savoir traduire “M sur la droite (AB)” par la colinéarité des vecteurs $\vec{AM}$ et $\vec{AB}$ puis écrire une équation cartésienne.
4. Savoir obtenir l’équation cartésienne ax+by+c=0 à partir d’un point et d’une direction (trouver a,b puis déterminer c par substitution).
5. Savoir vérifier l’appartenance d’un point à une droite en remplaçant ses coordonnées dans ax+by+c=0.
6. Savoir trouver les intersections avec les axes en imposant y=0 puis x=0 et en résolvant l’équation obtenue.
7. Savoir déterminer une ordonnée quand une abscisse est donnée (résoudre l’équation pour y).
8. Savoir déterminer une abscisse quand une ordonnée est donnée (résoudre l’équation pour x).
9. Savoir déduire des points d’abscisse donnée ou d’ordonnée donnée à partir de l’équation de la droite.
10. Savoir exploiter le fait que deux droites parallèles gardent la même direction : mêmes coefficients liés à la pente puis ajustement de c avec le point imposé.