Ficha de revisão: Maîtrise des probabilités conditionnelles et arbres de décision

📋 Plan du Cours

1. Arbre de probabilité et calculs
2. Activité 1 : chasse aux Pokémon
3. Probabilité de deux ou trois succès
4. Activité 2 : tests médicaux et Bayes
5. Activité 3 : pièce défectueuse et indépendance
6. Événements non indépendants et probabilité totale
7. Exercices sur probabilités conditionnelles

📖 1. Arbre de probabilité et calculs

🔑 Notions clés & Définitions

• Arbre de probabilité : Un schéma qui organise les étapes successives d’une expérience aléatoire et relie chaque branche à une probabilité.
• Nœud : Un point de l’arbre où une décision ou un événement conditionnel se sépare en plusieurs branches.
• Chemin : Une suite de branches allant de la racine à une feuille, correspondant à un scénario complet.
• Produit des probabilités : Méthode de calcul : la probabilité d’un chemin s’obtient en multipliant les probabilités des branches du chemin.
• Somme des probabilités : Méthode de calcul : la probabilité d’un événement est la somme des probabilités des chemins qui réalisent cet événement.

📝 Points essentiels

• La probabilité d’un chemin se calcule par le produit des probabilités des branches successives.
• La probabilité d’un événement se calcule en additionnant les probabilités des chemins menant à cet événement.
• Dans un arbre, chaque séparation correspond à un événement (souvent conditionnel) et ses probabilités se lisent sur les branches.
• Le nombre de branches et de nœuds sert à visualiser toutes les issues possibles de l’expérience.
• Les calculs se font en gardant les mêmes notations d’événements (ex. M, D) pour éviter les erreurs de correspondance.

💡 Astuce mémo

Chemin = produit ; Événement = somme.

📖 2. Activité 1 : chasse aux Pokémon

🔑 Notions clés & Définitions

• Scarabrute : Espèce de Pokémon de type insecte rencontrée dans l’exercice, associée à l’événement « insecte ».
• Ramoloss : Espèce de Pokémon de type eau rencontrée dans l’exercice, associée à l’événement « eau ».
• Ptitard : Espèce de Pokémon de type eau rencontrée dans l’exercice, associée à l’événement « eau ».
• Événement E : Événement « ne pas rencontrer de Pokémon de type insecte » lors d’une rencontre.
• Événement EE : Événement « ne pas rencontrer de type insecte » sur deux rencontres consécutives.

📝 Points essentiels

• Il y a 3 espèces équiprobables, donc la probabilité de ne pas rencontrer l’insecte à une rencontre vaut 2/3.
• La probabilité de ne pas rencontrer l’insecte sur trois rencontres vaut (2/3)^3 = 8/27.
• La probabilité de ne pas rencontrer l’insecte sur deux rencontres vaut (2/3)^2 = 4/9.
• Comme 8/27 est supérieur à 25%, le type insecte est considéré menacé d’extinction dans l’exercice.
• Le calcul utilise la règle du produit sur les branches successives de l’arbre (EE puis EEE).

💡 Astuce mémo

Insecte = 1/3, donc pas-insecte = 2/3 ; sur 3 essais : (2/3)^3.

📖 3. Probabilité de deux ou trois succès

🔑 Notions clés & Définitions

• Succès : Issue favorable définie par l’exercice, correspondant à l’événement « ne pas rencontrer de type insecte » à chaque rencontre.
• Deux succès : Cas où l’événement « succès » se produit sur deux rencontres consécutives.
• Trois succès : Cas où l’événement « succès » se produit sur trois rencontres consécutives.
• Probabilité conditionnée par le nombre de rencontres : Idée que la probabilité dépend du nombre d’étapes successives où l’événement se répète.

📝 Points essentiels

• Pour deux succès (EE), la probabilité vaut (2/3)×(2/3)=4/9.
• Pour trois succès (EEE), la probabilité vaut (2/3)×(2/3)×(2/3)=8/27.
• Le résultat 8/27 est environ 30%, donc il dépasse le seuil de 25% donné.
• Le raisonnement suppose des rencontres successives traitées de façon identique et indépendante dans l’arbre.
• Les probabilités se lisent directement en multipliant les mêmes facteurs à chaque étape.

💡 Astuce mémo

2 succès : (2/3)^2 ; 3 succès : (2/3)^3.

📖 4. Activité 2 : tests médicaux et Bayes

🔑 Notions clés & Définitions

• M : Événement « l’élève est malade » dans l’exercice.
• N : Événement « l’élève n’est pas malade » dans l’exercice.
• Test positif : Événement « le test est positif ».
• Test négatif : Événement « le test est négatif ».
• Probabilité conditionnelle : Probabilité d’un événement sachant qu’un autre événement est déjà réalisé (ex. probabilité d’être malade sachant que le test est négatif).

📝 Points essentiels

• On estime que 20% des élèves sont contaminés, donc P(M)=0,2 et P(N)=0,8.
• Si l’élève est malade, le test est négatif dans 10% des cas, donc P(test négatif | M)=0,1.
• Si l’élève n’est pas malade, le test est positif dans 5% des cas, donc P(test négatif | N)=0,95.
• Le nombre d’élèves testés négatifs est 20+760=780, d’où P(test négatif)=780/1000=0,78.
• La probabilité cherchée est P(M | test négatif)=P(M)×P(test négatif|M) / P(test négatif)=0,2×0,1 / 0,78≈0,026.

💡 Astuce mémo

Malade→négatif : 0,1 ; Non-malade→négatif : 0,95 ; puis on divise par 0,78.

📖 5. Activité 3 : pièce défectueuse et indépendance

🔑 Notions clés & Définitions

• M : Événement « la pièce est métallique ».
• D : Événement « la pièce est défectueuse ».
• Indépendance des événements : Propriété où la réalisation de l’un n’influence pas la probabilité de l’autre, traduite par une égalité de probabilités.
• Probabilité conditionnelle : Probabilité de D sachant M, notée P(M)(D) ou P(D|M) selon la notation utilisée.
• Événements non indépendants : Cas où la relation entre probabilités ne vérifie pas la condition d’indépendance.

📝 Points essentiels

• Données : P(D)=0,05 et P(M)=0,4, donc P(M̅)=0,6 et P(D̅)=0,95.
• Cas A (indépendants) : on donne P_M(D)=0,05, ce qui coïncide avec P(D).
• Vérification indépendance : p(M∩D)=p(M)×p(D)=0,4×0,05=0,02.
• Cas B (non indépendants) : on observe P(D|M)=0,03 et donc P(D|M̅)=0,05 (d’après les données sur plastiques).
• Dans le cas B : p(M∩D)=0,4×0,03=0,012 et p(D)=0,012+0,6×0,05=0,042, puis p(M)×p(D)=0,4×0,042=0,0168 ≠ 0,012, donc non indépendance.

💡 Astuce mémo

Indépendance : p(M∩D)=p(M)×p(D) ; sinon, non-indépendance.

📖 6. Événements non indépendants et probabilité totale

🔑 Notions clés & Définitions

• Probabilité totale : Méthode qui calcule P(D) en additionnant les probabilités des cas selon une partition (ici M et M̅).
• Partition par M : Découpage de l’univers en deux sous-cas : pièces métalliques (M) et non métalliques (M̅).
• Cas M : Sous-ensemble des issues où la pièce est métallique.
• Cas M̅ : Sous-ensemble des issues où la pièce n’est pas métallique.

📝 Points essentiels

• Quand M et D ne sont pas indépendants, on calcule P(D) par somme des contributions sur M et M̅.
• Dans l’activité 3 (cas B), P(D|M)=0,03 et P(D|M̅)=0,05.
• On obtient p(M∩D)=0,4×0,03=0,012.
• On obtient p(M̅∩D)=0,6×0,05=0,03.
• Donc p(D)=0,012+0,03=0,042 (soit 4,2% de pièces défectueuses).

💡 Astuce mémo

P(D)=P(M)×P(D|M)+P(M̅)×P(D|M̅).

📖 7. Exercices sur probabilités conditionnelles

🔑 Notions clés & Définitions

• Probabilité conditionnelle : Probabilité d’un événement sachant qu’un autre événement est réalisé.
• Intersection : Événement correspondant à la réalisation simultanée de deux événements (noté A∩B).
• Événements complémentaires : Deux événements qui couvrent tout l’univers sans se recouvrir (ex. F et F̅).
• Arbre avec condition : Arbre où les probabilités des branches dépendent de l’événement précédent.

📝 Points essentiels

• On utilise des rapports du type P(A)=nombre de cas favorables / nombre total (ex. 50/80=0,625).
• Pour une intersection, on lit un chemin menant à A puis B et on calcule une probabilité de type 10/80=0,125.
• Les probabilités conditionnelles se calculent via des rapports du type P(A|B)=P(A∩B)/P(B) (ex. 10/50=0,2 et 10/15=0,67 dans les valeurs données).
• Dans l’exemple, P(PP)=1/2=50% et P(PF)=1/2=50% sont obtenus à partir des effectifs indiqués.
• Les compléments sont utilisés pour définir des événements comme F̅ (élève fille) et T̅ (mesure moins d’1m80) dans l’arbre.

💡 Astuce mémo

Conditionnel = intersection / probabilité du conditionnant.

📊 Tableaux de synthèse

Indépendance vs non-indépendance (pièce)

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre la probabilité d’un chemin (produit) avec la probabilité d’un événement (somme des chemins).
2. Oublier que P(test négatif) doit être calculée avant de diviser pour obtenir P(M|test négatif).
3. Croire que l’égalité p(M∩D)=p(M)×p(D) est toujours vraie : elle ne l’est que si les événements sont indépendants.
4. Se tromper de condition dans l’activité 3 : utiliser 0,03 pour P(D|M) et 0,05 pour P(D|M̅) dans le cas non indépendant.
5. Mélanger les notations M̅ et N̅ : dans les tests médicaux, N désigne « non malade », tandis que dans la pièce, M̅ désigne « non métallique ».

✅ Checklist Examen

1. Construire et exploiter un arbre : calculer la probabilité d’un chemin par produit des branches.
2. Calculer la probabilité d’un événement en additionnant les probabilités des chemins correspondants.
3. Résoudre l’activité Pokémon : déterminer la probabilité de ne pas rencontrer l’insecte sur 3 rencontres et comparer au seuil de 25%.
4. Résoudre l’activité tests : calculer P(test négatif), puis P(M|test négatif) à partir de P(M), P(test négatif|M) et P(test négatif|N).
5. Vérifier l’indépendance dans l’activité pièce : comparer p(M∩D) à p(M)×p(D).
6. Calculer P(D) par probabilité totale dans le cas non indépendant : somme des contributions sur M et M̅.
7. Calculer des probabilités conditionnelles à partir d’effectifs : utiliser les rapports et relier intersection et conditionnel (A|B).