Polynômes : opérations, racines et factorisation

📋 Plan du Cours

1. Polynômes à une indéterminée
2. Opérations sur polynômes
3. Degré d’un polynôme
4. Fonctions polynomiales
5. Division euclidienne
6. Racines et divisibilité
7. Racines multiples
8. Factorisation dans C[X]
9. Factorisation dans R[X]
10. Relations racines-coefficients

📖 1. Polynômes à une indéterminée

🔑 Notions clés & Définitions

• Polynôme à une indéterminée : Expression formelle $P = a_0 + a_1 X + \dots + a_n X^n$, où $X$ est une variable (indéterminée) et $a_i \in K$ (avec $K = \mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$).
  Les coefficients sont dans un corps $K$, et le degré est le plus grand $k$ tel que $a_k \neq 0$.

• Degré d’un polynôme : Le plus grand entier $k$ pour lequel $a_k \neq 0$. Par convention, $\deg(0) = -\infty$.
  Le degré indique la "puissance dominante" du polynôme.

• Opérations sur les polynômes :

  • Somme : $P + Q = \sum_{k=0}^\infty (a_k + b_k) X^k$.
  • Multiplication par un scalaire : $\lambda P = \sum_{k=0}^\infty (\lambda a_k) X^k$.
  • Produit : $P \times Q$ se calcule par convolution des coefficients.
  • Puissance : $P^n$ définie par $P^{n+1} = P \times P^n$.
  • Composition : $P \circ Q = P(Q)$, en remplaçant $X$ par $Q$.

• Polynôme nul : Polynôme dont tous les coefficients sont nuls, noté $0$. Son degré est $-\infty$.
  Il sert de référence pour la division et la factorisation.