Ficha de revisão: Principes et techniques de récurrence et limites

📋 Plan du Cours

1. Principe du raisonnement par récurrence
2. Méthode de démonstration par récurrence
3. Exemples de récurrence sur les suites
4. Inégalité de Bernoulli par récurrence
5. Rôle de l’initialisation en récurrence
6. Limite infinie et limite finie des suites
7. Limites des suites usuelles
8. Opérations sur les limites et formes indéterminées
9. Lever une indétermination par factorisation
10. Lever une indétermination par expression conjuguée

📖 1. Principe du raisonnement par récurrence

🔑 Notions clés & Définitions

• Raisonnement par récurrence : Méthode de preuve qui établit qu’une propriété reste vraie pour tous les entiers à partir d’un rang initial grâce à une étape d’hérédité.
• Principe d’hérédité : Propriété selon laquelle, si une propriété est vraie à un rang $k$, alors elle est vraie au rang suivant $k+1$.
• Propriété héréditaire : Propriété dite héréditaire à partir d’un rang $k_0$ si, pour tout $k\ge k_0$, la vérité au rang $k$ entraîne la vérité au rang $k+1$.
• Initialisation : Étape de récurrence où l’on vérifie que la propriété $P$ est vraie au rang de départ $n!$.
• Démonstration par récurrence : Preuve utilisant l’initialisation et l’hérédité pour conclure que la propriété $P$ vaut pour tous les entiers $n\ge n!$.

📝 Points essentiels

• Le principe est attribué à Giuseppe Peano, et le nom est probablement donné par Henri Poincaré.
• Le modèle des dominos illustre l’idée : si le premier tombe et que chaque chute entraîne la suivante, alors toutes tombent.
• Une propriété est héréditaire à partir d’un rang si la vérité pour $k$ implique la vérité pour $k+1$.
• Pour prouver par récurrence : vérifier $P$ au rang $n!$ (initialisation) puis montrer que $P$ est héréditaire à partir de $n!$.
• Si ces deux conditions sont remplies, alors $P$ est vraie pour tout entier $n\ge n!$.
• On recourt à la récurrence quand une démonstration classique est impossible ou trop difficile.

💡 Astuce mémo

Dominos : Initialisation = 1er domino, Hérédité = domino $k\Rightarrow k+1$, Conclusion = tous les dominos tombent.

📖 2. Méthode de démonstration par récurrence

🔑 Notions clés & Définitions

• Récurrence : Méthode de preuve qui établit une propriété pour tous les entiers en prouvant un premier cas puis un passage de $k$ à $k+1$.
• Initialisation : Étape de récurrence où l’on vérifie la propriété pour le premier entier de départ (souvent $n=1$ ou $n=0$).
• Hérédité : Étape de récurrence où l’on suppose la propriété vraie à un rang $k$ puis on démontre qu’elle reste vraie au rang $k+1$.
• Principe de récurrence : Règle qui permet de conclure que la propriété est vraie pour tous les entiers concernés dès qu’elle est initialisée et héréditaire.
• Démonstration par récurrence d’une suite : Application de la récurrence pour prouver une formule explicite générale d’une suite définie par une relation de récurrence.

📝 Points essentiels

• On utilise la récurrence quand une démonstration directe est impossible ou trop difficile.
• La structure standard est : initialisation puis hérédité, puis conclusion via le principe de récurrence.
• Initialisation : on vérifie la propriété pour le premier entier (exemple : $n=1$ ou $n=0$).
• Hérédité : on suppose la propriété vraie au rang $k$ et on prouve qu’elle est vraie au rang $k+1$.
• Conclusion : si la propriété est vraie au rang de départ et héréditaire, alors elle est vraie pour tout entier naturel non nul (ou pour tous les $n$ à partir du rang choisi).
• Exemple (dominos) : pour tout entier naturel $n$ non nul, on démontre $2^n>n$ par initialisation en $n=1$ puis hérédité de $k$ à $k+1$.

💡 Astuce mémo

Initialisation = premier domino; Hérédité = si le domino $k$ tombe alors $k+1$ tombe; Principe = tous tombent.

📖 3. Exemples de récurrence sur les suites

🔑 Notions clés & Définitions

• Principe de récurrence : Méthode de preuve qui établit une propriété pour tout entier naturel en la montrant vraie au rang initial puis héréditaire.
• Hypothèse de récurrence : Supposition qu’une propriété est vraie à un rang k, utilisée pour prouver qu’elle reste vraie au rang k+1.
• Hérédité : Étape où l’on transforme l’hypothèse au rang k en une preuve de la propriété au rang k+1.
• Monotonie par récurrence : Technique consistant à prouver par récurrence une inégalité $u_{n+1}\ge u_n$ pour conclure que la suite est croissante.

📝 Points essentiels

• Pour prouver une formule $P(n)$ par récurrence, on vérifie d’abord $P(0)$ (initialisation) puis on montre $P(k)\Rightarrow P(k+1)$ (hérédité).
• Dans l’exemple « dominos », la propriété est établie au rang initial puis propagée de $k$ à $k+1$ jusqu’à obtenir la conclusion pour tout $n$.
• Exemple de suite : $u_{n+1}=u_n+2$ avec $u_0=2$ ; on vise $u_{n+1}\ge u_n$ pour obtenir la croissance.
• Initialisation de la monotonie : $u_1=u_0+2=4$, donc $u_1\ge u_0$.
• Hérédité de la monotonie : si $u_{k+1}\ge u_k$, alors $u_{k+2}=u_{k+1}+2\ge u_k+2=u_{k+1}$, donc $u_{k+2}\ge u_{k+1}$.
• Conclusion : comme $u_{n+1}\ge u_n$ pour tout $n$, la suite $(u_n)$ est croissante.

💡 Astuce mémo

Récurrence = Base (rang 0) + Propagation (k→k+1) : si ça tombe à k, ça tombe à k+1, donc tout tombe.

📖 4. Inégalité de Bernoulli par récurrence

🔑 Notions clés & Définitions

• Inégalité de Bernoulli : Propriété reliant la puissance de (1+a) à une borne linéaire 1+na pour tout entier n lorsque a>0.
• Récurrence sur n : Méthode où l’on prouve d’abord le cas initial puis une étape qui transforme la vérité au rang k en celle au rang k+1.
• Initialisation : Vérification du premier cas (souvent n=0) qui sert de point de départ à la récurrence.
• Hérédité : Étape de récurrence qui montre que si la propriété est vraie au rang k alors elle l’est aussi au rang k+1.

📝 Points essentiels

• Hypothèse : pour tout réel a>0 et tout entier naturel n, on a (1+a)^n ≥ 1+na.
• Initialisation : (1+a)^0 = 1 et 1+0·a = 1, donc la propriété est vraie pour n=0.
• Hypothèse de récurrence : si (1+a)^k ≥ 1+ka, alors on veut prouver (1+a)^(k+1) ≥ 1+(k+1)a.
• Passage au rang k+1 : (1+a)^(k+1) = (1+a)·(1+a)^k ≥ (1+a)(1+ka) car 1+a>0.
• Développement : (1+a)(1+ka) = 1+ka+a+ka^2 ≥ 1+(k+1)a car ka^2 ≥ 0.
• Conclusion : l’initialisation et l’hérédité donnent la validité pour tout entier naturel n par principe de récurrence.

💡 Astuce mémo

Dominos : initialisation (n=0) puis multiplication par (1+a)>0 pour faire tomber le rang k+1, et le terme en ka^2 est non négatif.

📖 5. Rôle de l’initialisation en récurrence

🔑 Notions clés & Définitions

• Initialisation en récurrence : L’initialisation est la vérification de la propriété pour le premier rang afin d’enclencher la preuve par récurrence.
• Hérédité en récurrence : L’hérédité est l’étape qui montre que si la propriété est vraie à un rang n, alors elle l’est aussi à n+1.
• Propriété jamais vraie : Une propriété peut satisfaire l’hérédité tout en restant fausse si l’initialisation n’est pas correctement établie.
• Limite +∞ d’une suite : Une suite admet pour limite +∞ si, à partir d’un certain rang, tous ses termes dépassent n’importe quel réel fixé.

📝 Points essentiels

• Sans initialisation, l’hérédité seule ne suffit pas à conclure que la propriété est vraie pour tous les rangs.
• Le scénario « hérédité vérifiée mais propriété jamais vraie » illustre qu’un défaut au départ peut invalider toute la conclusion.
• Pour une preuve par récurrence, il faut toujours vérifier le cas de départ avant d’utiliser l’étape n→n+1.
• Pour une suite de limite +∞, tout intervalle ]a ; +∞[ contient tous les termes à partir d’un certain rang.
• La notation de limite infinie est écrite lim_{n→+∞} u_n = +∞ lorsque les termes deviennent arbitrairement grands.
• Exemple : si u_n = n^2, alors u_n devient aussi grand que voulu et la limite est +∞.

💡 Astuce mémo

Initialisation = « le premier domino » ; hérédité = « la chute suivante » : sans le premier, rien ne tombe.

📖 6. Limite infinie et limite finie des suites

🔑 Notions clés & Définitions

• Limite finie : Notion de convergence où les termes d’une suite se rapprochent d’un nombre réel L à partir d’un certain rang.
• Convergence : Propriété d’une suite qui admet une limite finie L au sens où les termes entrent et restent dans tout intervalle ouvert contenant L.
• Limite infinie : Notion où les termes d’une suite deviennent arbitrairement grands en valeur à partir d’un certain rang.
• Divergence : Propriété d’une suite qui n’est pas convergente, donc qui n’admet pas de limite finie au sens de la définition.

📝 Points essentiels

• Définition (limite finie) : lim_{n→+∞} u_n = L signifie que pour tout intervalle ouvert contenant L, il existe un rang à partir duquel tous les u_n y appartiennent.
• Une suite convergente est une suite qui admet une limite finie L.
• Exemple : u_n = 1 + 1/10^n admet pour limite 1, et les termes se resserrent autour de 1 à partir d’un certain rang.
• Exemple numérique : u_{n=2}=1+1/10^2=1,0001 et u_{n=3}=1+1/10^3=1,000001.
• Remarque : une suite divergente n’admet pas nécessairement de limite infinie.
• Exemple de divergence sans limite : la suite (-1)^n alterne entre -1 et 1, donc n’a ni limite finie ni limite infinie.

💡 Astuce mémo

Convergence = “dans tous les trous autour de L” ; divergence = “ça ne se stabilise pas”.

📖 7. Limites des suites usuelles

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite divergente : Une suite divergente est une suite dont la limite n’existe pas (les termes ne se rapprochent pas d’un nombre réel unique).
• Limite infinie : Une limite infinie signifie que les termes d’une suite deviennent arbitrairement grands en valeur absolue, vers $+\infty$ ou $-\infty$.
• Limite nulle : Une limite nulle signifie que les termes d’une suite se rapprochent de $0$ quand $n$ tend vers $+\infty$.
• Forme indéterminée : Une forme indéterminée est un cas où la limite du produit ou du quotient ne peut pas être déduite directement des limites séparées des facteurs.

📝 Points essentiels

• Si $n\to+\infty$, alors $n^\alpha\to+\infty$ pour les puissances usuelles positives, par exemple $n\to+\infty$, $n^2\to+\infty$ et $\sqrt n\to+\infty$.
• Si $n\to+\infty$, alors $\dfrac1n\to0$, $\dfrac1{n^2}\to0$ et $\dfrac1{\sqrt n}\to0$.
• Pour montrer $\lim_{n\to+\infty}\dfrac1n=0$, on prend un intervalle ouvert $]-a,a[$ avec $a>0$ et on force $\dfrac1n<a$ à partir d’un certain rang.
• La preuve par intervalle ouvert consiste à choisir un rang $N$ tel que pour tout $n>N$, on ait $0<\dfrac1n<a$, donc $\dfrac1n\in]-a,a[$.
• Somme de limites : si $\lim u_n=L$ et $\lim v_n=L'$, alors $\lim(u_n+v_n)=L+L'$ quand les limites sont compatibles (y compris avec $\pm\infty$).
• Produit avec $\infty$ : si $\lim u_n=L\in\mathbb R$ et $\lim v_n=\pm\infty$, alors $\lim(u_nv_n)=L\cdot(\pm\infty)$, et le signe se détermine par la règle des signes ; les cas $\infty\cdot0$ sont des formes indéterminées

💡 Astuce mémo

Diviser par $n$ fait tendre vers 0 : $\frac1n,\frac1{n^2},\frac1{\sqrt n}$ → 0 ; multiplier par $n$ fait exploser : $n, n^2, \sqrt n$ → $+\infty$. Tableau repère (produit/quotient) : $\infty\cdot\text{(non nul)}$ → signe par les facteurs ; $\infty\cdot0$ et $\frac{\infty}{\infty

📖 8. Opérations sur les limites et formes indéterminées

🔑 Notions clés & Définitions

• Limite d’une somme : La limite d’une somme se calcule en additionnant les limites des termes quand elles existent et sont compatibles.
• Limite d’un produit : La limite d’un produit se calcule en multipliant les limites des facteurs quand elles existent et que le produit est déterminé.
• Limite d’un quotient : La limite d’un quotient se calcule en divisant les limites du numérateur et du dénominateur quand le quotient n’est pas indéterminé.
• Formes indéterminées : Les formes indéterminées sont des expressions de limites qui ne permettent pas de conclure directement et nécessitent un calcul supplémentaire.

📝 Points essentiels

• Si $\lim_{x\to a} f(x)=+\infty$ et $\lim_{x\to a} g(x)=+\infty$, alors $\lim_{x\to a}(f(x)+g(x))=+\infty$ (exemple : $\lim_{n\to+\infty}(n^2+n)=+\infty$).
• Si $\lim_{x\to a} f(x)=0$ et $\lim_{x\to a} g(x)=1$, alors $\lim_{x\to a}(f(x)\cdot g(x))=0$ (exemple : $\lim_{n\to+\infty}\frac{1}{\sqrt n+1}=0$ puis produit).
• Si $\lim_{x\to a} f(x)=+\infty$ et $\lim_{x\to a} g(x)=+\infty$, alors $\lim_{x\to a}(f(x)g(x))=+\infty$ (exemple : $\lim_{n\to+\infty}\big(\frac{1}{\sqrt n}+1\big)(n^2+3)=+\infty$).
• Si $\lim_{x\to a} f(x)=2$ et $\lim_{x\to a} g(x)=0$ avec une forme de quotient menant à une valeur finie, on obtient la limite correspondante (exemple : $\lim_{n\to+\infty}\frac{2-n^2-3}{2}=0$).
• Les quatre formes indéterminées à reconnaître sont $\infty-\infty$, $0\times\infty$, $\infty/\infty$ et $0/0$ (elles imposent des calculs algébriques pour lever l’indétermination).
• Pour lever une indétermination, on utilise notamment une factorisation pour réécrire l’expression et faire apparaître des limites simples (méthode citée : factoriser).

💡 Astuce mémo

Sommes→additions, produits→multiplications, quotients→divisions ; si tu vois $\infty-\infty$, $0\times\infty$, $\infty/\infty$, $0/0$ alors factorise pour lever l’indétermination.

📖 9. Lever une indétermination par factorisation

🔑 Notions clés & Définitions

• Forme indéterminée ∞ − ∞ : Forme d’indétermination où deux quantités tendent vers $+\infty$ et $-\infty$, rendant la limite globale non déterminée sans transformation.
• Forme indéterminée ∞ ∞ : Forme d’indétermination où le numérateur et le dénominateur (ou deux termes) tendent vers $+\infty$, ce qui ne permet pas de conclure directement.
• Factorisation par le monôme de plus haut degré : Technique qui consiste à factoriser numérateur et dénominateur par le terme dominant pour faire apparaître des limites de fractions simples.
• Limite d’un produit : Règle reliant la limite du produit à celles des facteurs, utile quand on transforme une expression en produit de limites connues.
• Limite d’un quotient : Règle reliant la limite d’un quotient à celles du numérateur et du dénominateur, applicable après simplification par factorisation.

📝 Points essentiels

• Si $\lim_{n\to+\infty} n=+\infty$ et $\lim_{n\to+\infty}(1-3\sqrt n)=1$, alors $\lim_{n\to+\infty} n(1-3\sqrt n)=+\infty$ et donc $\lim_{n\to+\infty}(n-3\sqrt n)=+\infty$.
• Pour $\lim_{n\to+\infty}(n^2-5n+1)$, on factorise par le monôme dominant $n^2$ : $n^2-5n+1=n^2\left(1-\frac{5}{n}+\frac{1}{n^2}\right)$.
• Comme $\lim_{n\to+\infty}\frac{5}{n}=0$ et $\lim_{n\to+\infty}\frac{1}{n^2}=0$, on obtient $\lim_{n\to+\infty}\left(1-\frac{5}{n}+\frac{1}{n^2}\right)=1$, puis $\lim_{n\to+\infty}(n^2-5n+1)=+\infty$.
• Pour $\lim_{n\to+\infty}\frac{5n^2+4}{4n^2+3n}$, on factorise par $n^2$ : $\frac{5n^2+4}{4n^2+3n}=\frac{5+\frac{4}{n^2}}{4+\frac{3}{n}}$.
• Comme $\lim_{n\to+\infty}\frac{4}{n^2}=0$ et $\lim_{n\to+\infty}\frac{3}{n}=0$, la limite vaut $\frac{5}{4}$.
• Pour $\lim_{n\to+\infty}\frac{3n^2+n}{n+3}$, on reconnaît une forme indéterminée $\infty-\infty$ (ici via croissance des termes) et on lève l’indétermination en factorisant par le terme dominant du numérateur et du dénom

💡 Astuce mémo

Dominant d’abord : factorise par le plus haut degré pour transformer la limite en constantes (les fractions en $\frac{1}{n}$ ou $\frac{1}{n^2}$ tendent vers 0).

📖 10. Lever une indétermination par expression conjuguée

🔑 Notions clés & Définitions

• Expression conjuguée : Une expression conjuguée est obtenue en changeant le signe d’un terme pour créer un produit qui simplifie la différence de deux racines ou de deux termes opposés.
• Forme indéterminée ∞ − ∞ : Une forme indéterminée ∞ − ∞ apparaît quand deux quantités tendent vers +∞ et que leur différence est de la forme ∞ − ∞.
• Forme indéterminée ∞/∞ : Une forme indéterminée ∞/∞ apparaît quand le numérateur et le dénominateur tendent tous deux vers +∞, rendant la limite non déterminée directement.
• Limite d’un quotient : La limite d’un quotient s’obtient en divisant les limites des parties correspondantes quand elles existent et que le quotient obtenu est bien défini.
• Limite d’une somme : La limite d’une somme se calcule en additionnant les limites des termes quand chaque limite existe (et que l’opération reste cohérente).

📝 Points essentiels

• Pour lever une indétermination, on transforme l’expression pour obtenir une forme où des limites simples (somme, produit, quotient) deviennent calculables.
• Pour une différence de racines, on multiplie par l’expression conjuguée pour faire apparaître un produit du type $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$.
• Exemple : $\sqrt{n}+2-\sqrt{n}$ est de type $\infty-\infty$ car $\sqrt{n}+2\to+\infty$ et $\sqrt{n}\to+\infty$.
• Après multiplication par le conjugué, on obtient $\sqrt{n}+2-\sqrt{n}=\dfrac{2}{\sqrt{n}+2+\sqrt{n}}$.
• Comme $\sqrt{n}+2+\sqrt{n}\to+\infty$, le quotient $\dfrac{2}{\sqrt{n}+2+\sqrt{n}}\to 0$, donc $\lim_{n\to+\infty}(\sqrt{n}+2-\sqrt{n})=0$.
• Une fois l’expression mise sous forme de quotient, on conclut directement avec la limite du numérateur et du dénominateur (ici $2$ et $+\infty$).

💡 Astuce mémo

Conjugué = on “change le signe” pour fabriquer un produit : $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$, puis on lit la limite du quotient.

📊 Tableaux de synthèse

Récurrence : structure de preuve

Étape	Ce qu’on vérifie	But
Initialisation	La propriété est vraie au rang de départ (ex. n=0 ou n=1)	Démarrer la “propagation”
Hérédité	Si la propriété est vraie au rang k, alors elle est vraie au rang k+1	Assurer la transmission
Conclusion	Avec initialisation + hérédité, la propriété est vraie pour tous les rangs concernés	Valider la propriété globale

Limites : formes indéterminées à lever

Forme indéterminée	Quand elle apparaît	Action
∞ − ∞	Deux quantités tendent vers +∞ et leur différence reste indéterminée	Factoriser ou utiliser l’expression conjuguée
0 × ∞	Produit entre un terme qui tend vers 0 et un autre qui diverge	Calcul algébrique (souvent factoriser)
∞/∞	Numérateur et dénominateur divergent	Factoriser/simplifier pour obtenir des limites simples
0/0	Numérateur et dénominateur tendent vers 0	Factoriser/simplifier pour lever l’indétermination

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Oublier l’initialisation : une hérédité vraie ne suffit pas, la propriété peut rester fausse (ex. “2^n divisible par 3”).
2. Confondre “héréditaire à partir de k0” avec “vraie pour k0” : l’hérédité ne garantit pas la vérité sans le rang de départ.
3. Mélanger les indices : en récurrence, l’hypothèse est au rang k et la conclusion doit être au rang k+1 (pas k).
4. Dans Bernoulli, utiliser a>0 sans vérifier : l’étape “car 1+a>0” sert à multiplier l’inégalité sans changer le sens.
5. Pour une limite, appliquer directement somme/produit/quotient alors que c’est une forme indéterminée (∞−∞, 0×∞, ∞/∞, 0/0).
6. Rater le type de limite : une suite divergente n’a pas forcément une limite infinie (ex. (-1)^n).
7. En conjuguée, oublier de transformer en quotient : sans la forme “numérateur / dénominateur”, on ne peut pas conclure par limites simples.

✅ Checklist Examen

1. Expliquer le principe de récurrence avec initialisation et hérédité, et conclure pour tous les n ≥ n! (ou pour tous les n à partir du rang choisi).
2. Représenter l’idée des dominos : initialisation = premier domino, hérédité = k ⇒ k+1, conclusion = tous tombent.
3. Rédiger une preuve par récurrence sur une inégalité de type 2^n > n : initialiser (n=1), puis faire l’hérédité k ⇒ k+1.
4. Appliquer la récurrence pour une suite définie par u_{n+1} = u_n + 2n + 3 et u_0 = 1, afin d’obtenir la formule générale u_n = (n+1)^2.
5. Montrer la monotonie par récurrence : établir u_{n+1} ≥ u_n à l’initialisation puis prouver l’hérédité pour conclure que la suite est croissante.
6. Prouver l’inégalité de Bernoulli : initialiser en n=0, puis faire l’hérédité k ⇒ k+1 en utilisant (1+a)>0 et ka^2 ≥ 0.
7. Justifier le rôle de l’initialisation en récurrence à partir de l’exemple où l’hérédité est vraie mais la propriété n’est jamais vraie.
8. Définir une limite infinie +∞ via la condition “à partir d’un certain rang, tous les termes dépassent tout réel fixé” et écrire la notation lim_{n→+∞} u_n = +∞.
9. Définir une limite finie L via la condition “dans tout intervalle ouvert contenant L, tous les termes sont à partir d’un certain rang”, et conclure que la suite est convergente.
10. Utiliser les limites usuelles : n^α → +∞ (α>0) et 1/n^p → 0, puis savoir prouver 1/n → 0 par intervalle ouvert ]−a,a[.
11. Calculer une limite par opérations (somme/produit/quotient) uniquement quand ce n’est pas indéterminé, et reconnaître les 4 formes indéterminées à traiter.
12. Lever une indétermination : factoriser par le monôme de plus haut degré pour ∞−∞ ou ∞/∞, et utiliser l’expression conjuguée pour une différence de racines afin d’obtenir un quotient dont le dénominateur tend vers +∞.