Ficha de revisão: Probabilités conditionnelles et arbres

📋 Plan du Cours

1. Probabilités conditionnelles et indépendance
2. Arbres pondérés et calculs de probabilités

📖 1. Probabilités conditionnelles et indépendance

🔑 Notions clés & Définitions

• Probabilité conditionnelle : La probabilité conditionnelle mesure la chance d’un événement sachant que l’autre événement est déjà réalisé.
• Indépendance d’événements : Deux événements sont indépendants quand le fait de connaître l’un ne change pas la probabilité de l’autre.
• Événements de Ω : Un événement est un sous-ensemble de l’univers Ω sur lequel on définit une probabilité.

📝 Points essentiels

• On a $P(A\cap B)=P(A)\,P(B\mid A)=P(B)\,P(A\mid B)$ quand les probabilités conditionnelles sont définies.
• L’indépendance se caractérise par $P(A\mid B)=P(A)$, ce qui équivaut à $P(A\cap B)=P(A)\,P(B)$ via $P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$.
• Pour deux événements $A$ et $B$ de $\Omega$, on utilise les opérations $A\cup B$ (union) et $A\cap B$ (intersection) pour former de nouveaux événements.

📖 2. Arbres pondérés et calculs de probabilités

🔑 Notions clés & Définitions

• Arbre pondéré : Un arbre pondéré est un schéma qui organise les étapes possibles avec des probabilités portées sur chaque branche.
• Somme des probabilités sur un noeud : Dans un arbre, les branches qui partent d’un même noeud représentent des cas qui se complètent et totalisent une probabilité unité.

📝 Points essentiels

• Dans un arbre pondéré, la somme des probabilités des branches issues d’un même noeud est égale à 1.
• Un produit de probabilités conditionnelles correspond à une probabilité d’intersection, par exemple $P(A\cap B)=P(A)\,P(B\mid A)$.
• On peut aussi écrire $P(A\cap B)=P(B)\,P(A\mid B)$ et égaler ces deux expressions pour relier $P(B\mid A)$ et $P(A\mid B)$.

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre $A\cup B$ (au moins l’un des deux) et $A\cap B$ (les deux à la fois) lors des calculs de probabilités.
2. Oublier que $P(A\mid B)$ dépend de $B$ et ne vaut généralement pas $P(A)$, sauf cas d’indépendance.
3. Utiliser $P(A)\,P(B)$ à la place de $P(A\cap B)$ quand on ne sait pas que $A$ et $B$ sont indépendants.
4. Dans un arbre pondéré, compter comme si la somme des branches d’un noeud devait être autre chose que 1.
5. Écrire correctement une formule mais choisir la mauvaise “direction” dans l’autre, par exemple $P(A\mid B)$ au lieu de $P(B\mid A)$.

✅ Checklist Examen

1. Savoir définir et utiliser $P(A\mid B)$ pour exprimer une information “sachant $B$”.
2. Savoir reconnaître la formule $P(A\cap B)=P(A)\,P(B\mid A)$.
3. Savoir reconnaître la formule symétrique $P(A\cap B)=P(B)\,P(A\mid B)$.
4. Être capable d’égaliser $P(A)\,P(B\mid A)$ et $P(B)\,P(A\mid B)$ pour relier les deux conditionnelles.
5. Savoir appliquer le critère d’indépendance $P(A\mid B)=P(A)$.
6. Savoir relier l’indépendance à l’intersection via $P(A\cap B)=P(A)\,P(B)$.
7. Savoir distinguer $A\cup B$ et $A\cap B$ comme événements construits à partir de $A$ et $B$.
8. Savoir interpréter un arbre pondéré et lire les probabilités sur les branches.
9. Savoir utiliser la règle “somme des probabilités des branches issues d’un noeud = 1” dans un arbre.
10. Savoir calculer une probabilité d’intersection en multipliant les probabilités le long d’un chemin adapté à l’arbre.