Structure et factorisation des polynômes

📋 Plan du Cours

1. Structure algébrique polynômes
2. Anneau des polynômes K[X]
3. Polynômes irréductibles R[X] et C[X]
4. Factorisation unique polynômes
5. Racines et multiplicité
6. Division euclidienne polynômes
7. Polynômes scindés et racines simples
8. Polynômes de degré 2 et 3
9. Polynômes de degré ≥ 4
10. Application polynomiale et racines

📖 1. Structure algébrique polynômes

🔑 Notions clés & Définitions

• Polynôme comme élément d’un ensemble A avec lois + et × : Un polynôme est un élément de l’ensemble A, muni de deux lois internes, l’addition (+) et la multiplication (×), qui vérifient les propriétés d’un anneau commutatif (associativité, commutativité, éléments neutres, opposés). AUTEUR (source) : Théorème et définition 1.1.

• Inclusion du corps K dans K[X] : Le corps K est inclus dans l’ensemble des polynômes à une indéterminée, K[X], en tant que polynômes constants. La loi de composition de K[X] prolonge celle de K. AUTEUR (source) : Théorème et définition 1.1.

• Existence d’une indéterminée X et écriture unique : Il existe une indéterminée X telle que tout polynôme P s’écrit de façon unique sous la forme P = ∑_{n=0}^N a_n X^n, avec N un entier naturel et a_N ≠ 0. AUTEUR (source) : Théorème et définition 1.1.