Ficha de revisão: Vecteurs, coordonnées et nombres complexes

📋 Plan du Cours

1. Dérivation et étude des fonctions
2. Primitives et intégrales
3. Équations différentielles du premier ordre
4. Équations différentielles du second ordre
5. Vecteurs et produits dans l’espace
6. Produit vectoriel et bases orthonormées
7. Repérages cylindrique et sphérique
8. Nombres complexes et trigonométrie
9. Signaux sinusoïdaux complexes
10. Différentielles et dérivées partielles
11. Différentielles de fonctions
12. Différentielles totales exactes

📖 1. Dérivation et étude des fonctions

📝 Points essentiels

★ À maîtriser

⚡ La dérivée peut se noter f′(x), df/dx(x) ou d/dx f(x), tandis que la notation ḟ(t) est réservée à une dérivation par rapport au temps.

🧮 Formule — La dérivée d’un produit vaut (uv)′=u′v+uv′, celle d’un quotient vaut (u/v)′=(u′v−uv′)/v², et celle d’une composée vaut (g∘f)′(x)=g′[f(x)]f′(x).

🧮 Formule — Pour α réel, la dérivée de x^α vaut αx^(α−1) sur son domaine de définition.

🧮 Formule — La tangente à la courbe y=f(x) au point d’abscisse x₀ a pour équation y=f′(x₀)(x−x₀)+f(x₀).

📌 Si f′(x₀)=0, alors f présente un minimum local si f′′(x₀)>0, un maximum local si f′′(x₀)<0 et un point d’inflexion si f′′(x₀)=0.

💡 Astuce mémo

Dériver, tangenter, optimiser

📖 2. Primitives et intégrales

🔑 Notions clés & Définitions

• Primitive : F d’une fonction continue f sur un intervalle I est une fonction vérifiant F′(x)=f(x) pour tout x∈I.

📝 Points essentiels

★ À maîtriser

📌 Toutes les primitives d’une fonction f sont de la forme F(x)+C, où F est une primitive particulière et C une constante réelle.

🧮 Formule — Pour α≠−1, une primitive de x^α est x^(α+1)/(α+1)+C.

🧮 Formule — Si F est une primitive de f sur [a,b], alors ∫_a^b f(x)dx=F(b)−F(a).

🧮 Formule — L’intégration par parties donne ∫_a^b u′(x)v(x)dx=[u(x)v(x)]_a^b−∫_a^b u(x)v′(x)dx.

Compléments

⚡ Une intégrale définie représente une aire algébrique : elle est positive au-dessus de l’axe y=0 et négative en dessous.

💡 Astuce mémo

Primitive puis borne moins borne

📖 3. Équations différentielles du premier ordre

🔑 Notions clés & Définitions

• Équation différentielle linéaire du premier ordre : À coefficients constants s’écrit a f′(x)+b f(x)=Φ(x), avec a≠0, a et b constants, et Φ une fonction connue.

📝 Points essentiels

★ À maîtriser

🔄 Processus — La résolution d’une équation différentielle du premier ordre consiste à déterminer la solution homogène, une solution particulière, puis leur somme f=f_H+f_P.

🧮 Formule — Pour l’équation homogène a f′+bf=0, l’équation caractéristique est ar+b=0 et la solution générale est f_H(x)=K exp(−bx/a).

📌 Une condition initiale ou aux bords doit être appliquée à la solution générale avec second membre afin de déterminer l’unique constante.

Compléments

🧮 Formule — Par variation de la constante, une solution particulière de a f′+bf=Φ(x) peut s’écrire f_P(x)=(1/a)exp(−bx/a)∫^x exp(bt/a)Φ(t)dt.

💡 Astuce mémo

Homogène, particulière, condition

📖 4. Équations différentielles du second ordre

🔑 Notions clés & Définitions

• Équation différentielle du deuxième ordre : Une équation différentielle linéaire homogène du deuxième ordre à coefficients constants s’écrit a f′′(t)+b f′(t)+cf(t)=0, avec a≠0 et a, b, c constants.

📝 Points essentiels

★ À maîtriser

🧮 Formule — L’équation caractéristique associée à a f′′+b f′+cf=0 est ar²+br+c=0, de discriminant Δ=b²−4ac.

⚡ Si Δ<0, la solution réelle est f(t)=exp(λt)[A cos(ωt)+B sin(ωt)] et le régime est pseudo-périodique.

⚡ Si Δ>0, la solution est une somme de deux exponentielles réelles et le régime est apériodique.

⚡ Si Δ=0, la solution générale est f(t)=(C₁+C₂t)exp(rt), avec r=−b/(2a), et le régime est critique.

📌 Deux conditions initiales ou aux limites sont nécessaires pour déterminer les deux constantes d’une équation différentielle homogène du deuxième ordre.

💡 Astuce mémo

Le discriminant dicte le régime

📖 5. Vecteurs et produits dans l’espace

🔑 Notions clés & Définitions

• Norme d’un vecteur : Dans une base cartésienne orthonormée, la norme du vecteur de composantes (x,y,z) vaut √(x²+y²+z²).

📝 Points essentiels

★ À maîtriser

🧮 Formule — Le produit scalaire de deux vecteurs de composantes (x₁,y₁,z₁) et (x₂,y₂,z₂) vaut x₁x₂+y₁y₂+z₁z₂ et aussi ||u⃗||||v⃗||cos(û,v⃗).

🧮 Formule — Le produit vectoriel de (x₁,y₁,z₁) par (x₂,y₂,z₂) a pour composantes (y₁z₂−z₁y₂, z₁x₂−x₁z₂, x₁y₂−y₁x₂).

📌 Le produit vectoriel est perpendiculaire aux deux vecteurs de départ et sa norme vaut ||u⃗||||v⃗|| |sin(û,v⃗)|.

Compléments

🧮 Formule — Le déplacement élémentaire s’écrit d⃗ℓ=dx⃗e_x+dy⃗e_y+dz⃗e_z et le volume élémentaire vaut dV=dx dy dz.

• La norme d’un produit vectoriel est égale à l’aire du parallélogramme construit sur les deux vecteurs.

💡 Astuce mémo

Scalaire pour l’angle, vectoriel pour l’aire

📖 6. Produit vectoriel et bases orthonormées

🔑 Notions clés & Définitions

• Produit vectoriel : De deux vecteurs est perpendiculaire au plan qu’ils définissent et donc orthogonal à chacun d’eux.
• Base orthonormée directe : Une base (e1,e2,e3) est orthonormée directe si ses vecteurs sont unitaires, deux à deux orthogonaux et vérifient e3 = e1 ∧ e2.

📝 Points essentiels

★ À maîtriser

🧮 Formule — La norme du produit vectoriel vérifie ||u ∧ v|| = ||u|| ||v|| |sin(∠(u,v))| et représente l’aire du parallélogramme construit sur u et v.

🧮 Formule — Les formules trigonométriques de base sont cos(a+b)=cos a cos b−sin a sin b et sin(a+b)=sin a cos b+cos a sin b.

Compléments

📌 L’orientation du produit vectoriel u ∧ v se détermine avec la règle de la main droite en faisant tourner u vers v.

• Dans une base orthonormée directe, on a également e1 = e2 ∧ e3 et e2 = e3 ∧ e1.

💡 Astuce mémo

Main droite : pouce, index, majeur

📖 7. Repérages cylindrique et sphérique

🔑 Notions clés & Définitions

• Repérage cylindrique : Les coordonnées cylindriques d’un point M sont (ρ,ϕ,z), avec ρ=OH, ϕ=∠(ex,OH) et z=HM, où H est la projection orthogonale de M sur le plan Oxy.
• Repérage sphérique : Les coordonnées sphériques d’un point M sont (r,θ,ϕ), avec r=OM, θ=∠(ez,OM) et ϕ=∠(ex,OH).

📝 Points essentiels

★ À maîtriser

🧮 Formule — En coordonnées cylindriques, le vecteur position est OM = ρ eρ + z ez.

🧮 Formule — Le déplacement élémentaire cylindrique est dℓ = dρ eρ + ρ dϕ eϕ + dz ez.

🧮 Formule — En coordonnées sphériques, le vecteur position est OM = r er.

🧮 Formule — Le déplacement élémentaire sphérique est dℓ = dr er + r dθ eθ + r sinθ dϕ eϕ, et le volume élémentaire vaut dV = r² sinθ dr dθ dϕ.

Compléments

🧮 Formule — Le volume élémentaire cylindrique vaut dV = ρ dρ dϕ dz.

🧮 Formule — Les volumes usuels sont V=a²h/3 pour une pyramide à base carrée, V=πR²h pour un cylindre et V=4πR³/3 pour une sphère.

💡 Astuce mémo

Cylindre : ρ, ϕ, z ; sphère : r, θ, ϕ

📖 8. Nombres complexes et trigonométrie

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre complexe : S’écrit z=x+iy avec x,y réels et i²=−1.
• Complexe conjugué : Si z=x+iy, son conjugué est z̄=x−iy, correspondant à la symétrie du point représentatif par rapport à l’axe réel.

📝 Points essentiels

★ À maîtriser

🧮 Formule — La forme exponentielle d’un nombre complexe est z=ρe^{iϕ}=ρ(cosϕ+i sinϕ), où ρ=|z| et ϕ=arg(z).

🧮 Formule — Le module vérifie |z|=√(z z̄), |z1z2|=|z1||z2| et |z1/z2|=|z1|/|z2| pour z2 non nul.

Compléments

🧮 Formule — Pour z non nul, arg(1/z)=−arg(z), et à 2π près arg(z1z2)=arg(z1)+arg(z2).

🧮 Formule — Les relations d’Euler donnent cosϕ=(e^{iϕ}+e^{-iϕ})/2 et sinϕ=(e^{iϕ}−e^{-iϕ})/(2i).

💡 Astuce mémo

Algébrique, exponentielle, trigonométrique

📖 9. Signaux sinusoïdaux complexes

🔑 Notions clés & Définitions

• Signal sinusoïdal : Réel s(t)=A cos(ωt+ϕ) est caractérisé par son amplitude A>0, sa pulsation ω>0 et sa phase à l’origine ϕ.

📝 Points essentiels

★ À maîtriser

🧮 Formule — Au signal réel s(t)=A cos(ωt+ϕ) est associé le signal complexe s(t)=Ae^{i(ωt+ϕ)}, dont la partie réelle redonne le signal réel.

🧮 Formule — En posant A=Ae^{iϕ}, le signal complexe s’écrit s(t)=A e^{iωt}, où A est l’amplitude complexe, de module A et d’argument ϕ.

🔄 Processus — Pour des signaux de même pulsation ω, on additionne ou soustrait leurs amplitudes complexes, puis on réintroduit le facteur temporel e^{iωt} et on prend la partie réelle.

Compléments

🧮 Formule — La dérivée d’un signal complexe s(t)=A e^{iωt} est ds/dt=iωA e^{iωt}, tandis qu’une primitive de même pulsation a pour amplitude complexe A/(iω).

• Pour trois tensions sinusoïdales de même amplitude et déphasées de 2π/3, la somme des amplitudes complexes est nulle.

💡 Astuce mémo

Amplitude complexe × e^{iωt}

📖 10. Différentielles et dérivées partielles

🔑 Notions clés & Définitions

• Différentielle : Pour une fonction d’une variable, la différentielle vérifie df=f′(x)dx et représente la variation infinitésimale de f lorsque x varie de dx.
• Dérivée partielle : De f(x,y) par rapport à x est la dérivée calculée en considérant y comme une constante, notée (∂f/∂x)y.
• Différentielle totale exacte : Une forme différentielle ω=A(x,y)dx+B(x,y)dy est une différentielle totale exacte s’il existe une fonction f telle que ω=df.

📝 Points essentiels

★ À maîtriser

🧮 Formule — Une intégrale est une somme continue de variations infinitésimales dF=f(x)dx, et ∫_a^b f(x)dx=F(b)−F(a) si F est une primitive de f.

📌 Sous les conditions de continuité du théorème de Schwarz, les dérivées partielles secondes se commutent : ∂²f/∂x∂y=∂²f/∂y∂x.

🧮 Formule — Pour une fonction f(x,y), sa différentielle est df=(∂f/∂x)y dx+(∂f/∂y)x dy.

📌 Pour qu’une forme différentielle ω=A dx+B dy soit une différentielle totale exacte, il faut que ∂A/∂y=∂B/∂x.

💡 Astuce mémo

Variation = dérivée × différentielle

📖 11. Différentielles de fonctions

📝 Points essentiels

★ À maîtriser

🧮 Formule — Pour une fonction f de plusieurs variables, sa différentielle est la somme des différentielles de chaque variable multipliées par la dérivée partielle correspondante : df = (∂f/∂r)dr + (∂f/∂θ)dθ + (∂f/∂ϕ)dϕ.

📌 La règle de la chaîne pour des variables dépendantes donne df = (df/dx)(dx/dT)dT.

🧮 Formule — Pour le gaz parfait d’une mole, PV = RT, donc P = RT/V et dP = (R/V)dT − (RT/V²)dV.

Compléments

🧮 Formule — Si S = πR² et V = 4πR³/3, alors S′(R) = 2πR, V′(R) = 4πR², dS = 2πR dR et dV = 4πR² dR.

🧮 Formule — Pour f = f₀(x/L)², avec f₀ et L constants, on a df = 2f₀x/L² dx.

🧮 Formule — Si x = x₀ ln(T/T₀), avec x₀ et T₀ constants, alors dx = x₀ dT/T.

💡 Astuce mémo

Dériver puis différencier

📖 12. Différentielles totales exactes

🔑 Notions clés & Définitions

• Forme différentielle : De deux variables x et y s’écrit ω = A(x,y)dx + B(x,y)dy.

📝 Points essentiels

★ À maîtriser

📌 Pour que ω = A(x,y)dx + B(x,y)dy soit une différentielle totale exacte, les fonctions A et B doivent vérifier ∂A/∂y = ∂B/∂x.

🔄 Processus — Pour reconstruire f à partir d’une DTE, on pose A = ∂f/∂x ou B = ∂f/∂y, on intègre par rapport à la variable correspondante, puis on compare l’expression obtenue avec l’autre dérivée partielle.

Compléments

• Pour ω = 2(x+y)dx + (2x−2y+1)dy, la relation de Cauchy est vérifiée et une fonction dont ω est la différentielle est f(x,y) = x² + 2xy − y² + y.

🧮 Formule — Pour la forme différentielle du gaz réel donnée dans le cours, l’intégration conduit à l’équation de van der Waals (p + a/V²)(V−b) = RT.

💡 Astuce mémo

Cauchy vérifie, intégration reconstruit

📊 Tableaux de synthèse

Régimes du second ordre

Discriminant	Racines	Solution générale	Régime
Δ<0	Complexes conjuguées	e^(λt)[A cos(ωt)+B sin(ωt)]	Pseudo-périodique
Δ>0	Réelles distinctes	C₁e^(r₁t)+C₂e^(r₂t)	Apériodique
Δ=0	Réelle double	(C₁+C₂t)e^(rt)	Critique

Coordonnées et déplacements élémentaires

Repérage	Vecteur position	Déplacement	Volume élémentaire
Cylindrique (ρ,ϕ,z)	OM=ρeρ+zez	dρeρ+ρdϕeϕ+dzez	ρdρdϕdz
Sphérique (r,θ,ϕ)	OM=rer	drer+rdθeθ+r sinθdϕeϕ	r²sinθdrdθdϕ

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. La notation ḟ(t) ne s’emploie pas pour une variable quelconque.
2. Une primitive est une fonction, contrairement à une intégrale définie qui est un nombre réel.
3. La solution particulière ne remplace pas la solution homogène dans la solution générale.
4. Les racines complexes conjuguées ne donnent pas deux exponentielles réelles indépendantes.
5. Le produit scalaire est un nombre réel, pas un vecteur.
6. Le produit vectoriel ne se confond pas avec le produit scalaire, qui donne un nombre.
7. La coordonnée ρ est une distance dans Oxy, tandis que z mesure la hauteur.