Тест: Fonction exponentielle : propriétés et dérivées — 12 въпроса

1. Quelle est la caractérisation de la fonction exponentielle ?

A. La fonction continue sur R vérifiant f(x+y)=f(x)f(y)

B. La fonction dérivable sur R telle que f(0)=0 et f'(0)=1

C. La unique fonction dérivable sur R vérifiant f' = f et f(0) = 1

D. La fonction positive sur R dont la dérivée est constante

Answer: (C)

Обяснение

La fonction exponentielle est définie comme l’unique fonction dérivable sur R vérifiant f' = f et f(0)=1. Les autres propositions décrivent des propriétés incomplètes ou fausses.

2. Que désigne la notation exp(x) ?

A. La dérivée de e^x

B. La valeur de e en x=0

C. L’inverse de e^x

D. La même fonction que e^x

Answer: (D)

Обяснение

La notation exp(x) est une écriture alternative de la fonction exponentielle, identique à e^x. Elle ne désigne ni une dérivée ni un inverse.

3. Quelle relation définit le nombre e ?

A. e est la dérivée de la fonction exponentielle en 1

B. e est l’image de 0 par la fonction exponentielle

C. e est la valeur de e^0

D. e est l’image de 1 par la fonction exponentielle

Answer: (D)

Обяснение

Le nombre e est défini comme l’image de 1 par la fonction exponentielle, donc e = e^1. On sait aussi que e^0 = 1, ce qui est différent.

4. Quelle est la valeur de e^0 ?

A. 1

B. 0

C. e

D. 2,718281828

Answer: (A)

Обяснение

Toute puissance de base non nulle à l’exposant 0 vaut 1, donc e^0 = 1. La valeur 2,718281828 correspond à e lui-même, pas à e^0.

5. Quelle égalité est correcte pour le produit de deux puissances de e ?

A. e^x · e^y = e^(xy)

B. e^x · e^y = e^(x-y)

C. e^x · e^y = e^(x/y)

D. e^x · e^y = e^(x+y)

Answer: (D)

Обяснение

Le produit de deux puissances de même base s’obtient en additionnant les exposants : e^x · e^y = e^(x+y). Les autres réponses confondent produit, quotient et multiplication des exposants.

6. Comment peut-on réécrire 1 / e^x ?

A. e^(x-1)

B. e^(-x)

C. 1 / e^(x-1)

D. e^(1-x)

Answer: (B)

Обяснение

L’inverse d’une puissance de e s’écrit avec l’exposant opposé : 1 / e^x = e^(-x). C’est une conséquence directe des règles sur les puissances.

7. Que permet de conclure l’égalité e^a = e^b ?

A. a = b

B. a > b

C. a = -b

D. a < b

Answer: (A)

Обяснение

La fonction exponentielle étant strictement croissante, deux exponentielles de même base sont égales si et seulement si leurs exposants sont égaux. On lit donc directement l’égalité sur les exposants.

8. Si e^a < e^b, quelle relation entre a et b est vraie ?

A. a < b

B. a ≤ b

C. a > b

D. a = b

Answer: (A)

Обяснение

Comme la fonction exponentielle est strictement croissante, elle conserve l’ordre : e^a < e^b équivaut à a < b. Les autres propositions contredisent cette croissance.

9. Quelle est la dérivée de e^x ?

A. x e^x

B. 1

C. e^x

D. e^(x-1)

Answer: (C)

Обяснение

La fonction exponentielle est sa propre dérivée : (e^x)' = e^x. C’est une propriété fondamentale à retenir.

10. Quelle est la dérivée de g(x) = (x-1)e^x ?

A. e^x

B. x e^x

C. x e^(x-1)

D. (x-1)e^x

Answer: (B)

Обяснение

En dérivant le produit (x-1)e^x, on obtient g'(x)=1·e^x+(x-1)·e^x, soit x e^x. Les autres réponses oublient une partie de la dérivation du produit.

11. Si f(t)=e^{kt} avec k réel constant, quelle est sa dérivée ?

A. f'(t)=k e^{kt}

B. f'(t)=e^k t

C. f'(t)=e^{kt}

D. f'(t)=kt e^{kt}

Answer: (A)

Обяснение

Pour une fonction de la forme e^{kt}, la dérivée fait apparaître un facteur k : f'(t)=k e^{kt}. C’est l’application directe de la règle de dérivation de l’exponentielle composée.

12. Quelle est la dérivée de f(t)=5e^{-3t} ?

A. 5e^{-3t}

B. -15e^{-3t}

C. 15e^{-3t}

D. -3e^{-3t}

Answer: (B)

Обяснение

On dérive e^{-3t} en multipliant par -3, puis on conserve le facteur 5 : f'(t)=5×(-3)e^{-3t}=-15e^{-3t}. La réponse 5e^{-3t} oublierait la dérivation.