Тест: Introduction aux équations différentielles du premier et du second ordre — 12 въпроса

1. Quelle est la forme générale d’une équation différentielle linéaire du premier ordre ?

A. y' + a(x)y = b(x), avec a et b continues sur un intervalle I

B. y + a(x)y' = b(x), avec a et b continues sur un intervalle I

C. y' = a(x)y^2 + b(x), avec a et b continues sur un intervalle I

D. y'' + a(x)y = b(x), avec a et b continues sur un intervalle I

Answer: (A)

Обяснение

Une équation linéaire du premier ordre s’écrit bien sous la forme y' + a(x)y = b(x), avec des coefficients continus sur l’intervalle considéré. Les autres propositions changent l’ordre ou la structure de l’équation.

2. Comment s’écrit toute solution de l’équation homogène associée à y' + a(x)y = 0 ?

A. y(x)=K A(x), où A est une primitive de a sur I

B. y(x)=K e^{A(x)}, où A est une primitive de a sur I

C. y(x)=K e^{-A(x)}, où A est une primitive de a sur I

D. y(x)=K + A(x), où A est une primitive de a sur I

Answer: (C)

Обяснение

Les solutions de l’homogène ont la forme K e^{-A(x)}, avec A une primitive de a. Le signe au lieu de l’exponentielle est une erreur fréquente.

3. Quelle idée décrit la méthode de variation de la constante ?

A. Remplacer la constante de la solution homogène par une fonction inconnue

B. Remplacer la dérivée par une primitive du second membre

C. Chercher directement une solution constante de l’équation complète

D. Multiplier le second membre par une constante choisie arbitrairement

Answer: (A)

Обяснение

La variation de la constante consiste à poser y_p(x)=K(x)y_h(x), puis à déterminer K(x). On ne garde donc pas une constante fixe dans la solution particulière.

4. Dans l’équation y' + x/(1+x^2) y = x, quelle solution particulière est obtenue par variation de la constante ?

A. y_p(x)=x/(1+x^2)

B. y_p(x)=1/3(1+x^2)^{3/2}

C. y_p(x)=1/sqrt(1+x^2)

D. y_p(x)=1/3(1+x^2)

Answer: (D)

Обяснение

En appliquant la variation de la constante, on trouve K(x)=1/3(1+x^2)^{3/2}, puis y_p(x)=1/3(1+x^2). Les autres formes ne correspondent pas au calcul obtenu.

5. Dans le principe de superposition, quelle condition doit vérifier deux équations linéaires du premier ordre pour que la somme de deux solutions fonctionne ?

A. Elles doivent être toutes deux homogènes

B. Elles doivent être définies sur des intervalles différents

C. Elles doivent avoir le même coefficient a(x)

D. Elles doivent avoir le même second membre b(x)

Answer: (C)

Обяснение

La superposition exige le même coefficient a(x) ; alors la somme des solutions correspond à la somme des seconds membres. Le second membre peut au contraire changer.

6. Si f1 vérifie y' + a(x)y = b1(x) et f2 vérifie y' + a(x)y = b2(x), que vérifie f1 + f2 ?

A. y' + a(x)y = b1(x) - b2(x)

B. y' + a(x)(f1+f2) = b1(x)b2(x)

C. y' + a(x)y = b1(x) + b2(x)

D. y' + 2a(x)y = b1(x) + b2(x)

Answer: (C)

Обяснение

En additionnant les deux équations, on obtient bien y' + a(x)y = b1(x)+b2(x) pour f1+f2. C’est exactement l’énoncé du principe de superposition.

7. Quelle est la forme d’une équation différentielle autonome du premier ordre ?

A. y'' = F(y), avec F continue sur un intervalle I

B. y' = F(y), avec F continue sur un intervalle I

C. y' = F(x), avec F continue sur un intervalle I

D. y + F(y) = 0, avec F continue sur un intervalle I

Answer: (B)

Обяснение

Une équation autonome dépend de la variable y uniquement, sous la forme y'=F(y). La variable indépendante n’apparaît pas explicitement dans F.

8. Dans le modèle de croissance logistique dy/dt = r(1 - y/K)y, quels sont les points d’équilibre ?

A. y = K/2 et y = K

B. y = 0 et y = K

C. y = 0 et y = r

D. y = r et y = K

Answer: (B)

Обяснение

Les équilibres sont les racines du membre de droite : y=0 et y=K. Ce sont les valeurs pour lesquelles la dérivée est nulle.

9. Quelle est la forme générale d’une équation différentielle linéaire d’ordre deux à coefficients constants ?

A. y'' + a(x)y' + b(x)y = F(x), avec a et b constants

B. ay'' + by' = 0, avec a, b, c constants et a ≠ 0

C. ay' + by + cy'' = F(x), avec a, b, c constants et a ≠ 0

D. ay'' + by' + cy = F(x), avec a, b, c constants et a ≠ 0

Answer: (D)

Обяснение

L’équation du second ordre à coefficients constants s’écrit bien ay'' + by' + cy = F(x), avec a non nul. Les autres propositions mélangent l’ordre des dérivées ou introduisent des coefficients variables.

10. Si le discriminant Δ de l’équation caractéristique est strictement négatif, quelle est la forme de la solution générale de l’homogène ?

A. (λ1x + λ2)e^{r0x}

B. λ1 cos(αx) + λ2 sin(αx)

C. e^{αx}(λ1 cos(βx) + λ2 sin(βx))

D. λ1e^{r1x} + λ2e^{r2x}

Answer: (C)

Обяснение

Quand Δ < 0, les racines sont complexes conjuguées et la solution de l’homogène s’écrit e^{αx}(λ1 cos(βx) + λ2 sin(βx)). Les deux exponentielles séparées correspondent au cas Δ > 0.

11. Lorsque le discriminant de l’équation caractéristique est strictement positif, quelle forme prend la solution générale de l’homogène associée ?

A. Une constante ajoutée à une exponentielle unique

B. Une combinaison de deux exponentielles réelles distinctes

C. Une exponentielle multipliée par une combinaison de sinus et de cosinus

D. Une exponentielle multipliée par un polynôme du premier degré

Answer: (B)

Обяснение

Si Δ>0, l’équation caractéristique admet deux racines réelles distinctes r1 et r2, donc la solution homogène est de la forme λ1e^{r1x}+λ2e^{r2x}. La forme trigonométrique correspond au cas Δ<0, pas à Δ>0.

12. Dans le tableau des solutions particulières pour une équation du second ordre à coefficients constants, quelle forme faut-il choisir si le second membre est de la forme Ae^{kx} et que k est une racine simple de l’équation caractéristique ?

A. Axe^{kx}

B. Ax^2e^{kx}

C. Acos(kx)

D. Ae^{kx}

Answer: (A)

Обяснение

Quand k est une racine simple de l’équation caractéristique, on multiplie la forme attendue par x pour éviter la redondance avec l’homogène, d’où Axe^{kx}. Si k n’était pas racine, on prendrait simplement Ae^{kx}.